關於代數期望與幾何期望

墻老是強調自己數學功底不行，但同時又自曝過自己研究過撲克概率，同時算起來EV什麽的那是一套一套啊，不過有一個概念，墻和風暴都沒有說清楚，而且如果不懂這個概念的話，對一些急於求成的新手會造成很大的傷害，這個概念就是關於EV的兩個概念，代數期望和幾何期望。

目前我们面前有两种月投资模式如下:
第一种，2/3概率获利50％，1/3概率损失50%;
第二种，90%概率获利10％，10％概率损失10％；
問你選那一種。

這時，我們就分析了
方案A的期望為
2/3*1.5+1/3*0.5=1.17
方案B的期望為
0.9*1.1+0.1*0.9=1.08
方案A的EV優於方案B，但是方案B的風險小，有些膽小的玩家選B，這時候就有人說了，高手都選A，你們選B的都註定成不了高手，於是兩邊開始掐了，最後誰也說服不了誰，墻貌似是A派的。

其實A與B是各有優劣的，我們要面對的，是在不同情況下如何選擇。

墻當時的選擇是，我每次都選A，這樣時間長了我一定能比每次選B的獲利更多。這裡，墻就已經偷偷的加上了一個原來沒有的條件，即每次都選。
那麼如果換一下，讓你用全部的家當進行這樣一次選擇，你選什麽？
可能你還是選A，因為這樣的期望最大嗎，那麼我再加上一次，你必須要面臨兩次這樣的選擇，你又怎麼選？你可能說我兩次都選A，呵呵，上當了。
簡單的計算一下，連續選擇兩次方案A，其期望就變成了(1.5)^(4/3)*(0.5)^(2/3)=1.082,而方案B則是1.1^1.8*0.9^0.2=1.162。這就是EV的代數期望與幾何期望的區別。
代數期望遵守大数定律，當一次實驗重複足夠多的時候無窮接近棄代數期望。而幾何期望，則是考慮到風險因素，對“率”的增長的一個期望，當你每次拿全部的資產進行重複投資時，則一定會選擇方案B。
二者的區別為：
如果規定，你只能拿30塊錢投資，那麼我把30塊拆成1000份，投資A一千次，而如果規定我能投資30次，那麼我一定選擇方案B，每次用100%的資金投。就算選擇方案A，我每次用2/3的資金投資，也比你每次用100%的資金投資好。
其實引申一下，這也就說明了BR的重要性，只有當你的BR足夠的時候，才可以不斷的選擇EV最高的方案。而那種不斷拿著自己全部BR往上升級的玩家，則只能任其吞聲的選擇方案B。

有一點，只要對手的籌碼量高於你，無論你手持什麽牌，你接對方allin的幾何期望均為零，這也是我們在MTT中必須要尊重大籌碼的一個重要原因。另外，早期如果可以積累足夠的籌碼優勢，在錦標賽中後期，不斷用這種微弱的優勢，接籌碼量遠遠小於你的選手的allin，可以讓你積累巨大的優勢，大家以後不要再抱怨自己的AK push被大籌碼的22,33幹掉，要知道，如果你的籌碼不足對手的20%，對手這樣接，無論是EV還是幾何期望，都有理由call你的。
例子，在錦標賽中期，你在BB拿到JJ，一個數據為9/7的UTG+2直接allin，其他人棄牌到你，你如何決策。

從牌面上分析，對手9/7的range，7%的加注牌包括，AA-77，AKs-AJs，AKo-AQo，因為你手裡有JJ，所以對手總共有77種組合，其中AA-QQ有18種（勝率20%），JJ一種（勝率50%），TT-77有24種（勝率80%），AKo-AQo有24種（勝率55%），AKs- AQs有8種（勝率55%），AJs兩種（勝率80%）。綜合來看，你的勝率是18/77*20%+32/77*55%+1/77*50%+26 /77*80%=55.2%，你call的EV為正，你應該call。

而如果考慮到出局的風險，就要根據對手的籌碼進行決策。假設對手的籌碼為x，則你的幾何期望為：
(1+x)^0.55*(1-x）^0.45，經過計算，解得x=0.1時取到最大值，幾何期望為1.005.而對手的籌碼與你越接近，你的幾何期望就越低。也就是說，如果考慮到生存因素，當對手的籌碼量大於你籌碼量的20%時，你在這種情況下call牌就是錯誤的選擇，當對手的籌碼量是你的80%時，你的幾何期望只有可憐的0.67，當你不是面臨搏命選擇，或是贏了這盤就可以成為CL，參與這種賭局，從長遠來看是會讓你實力受損的。（此處肯定會有人看不懂，試著看懂結論就可以）

當然，如果你拿到的是QQ，那麼勝率就變成了65%，如果對手的籌碼量是你的30%，你的幾何平均期望最大，而跟籌碼量在你56%以下的對手的allin幾何期望均為正。如果你手持AA，兩個數值分別為56%和87%。

同意 Howard... LZ 讨论的似乎是Kelly criterion 关联的东西，即如何在一定资产下确保资产增长最大化... 但这不是1次2次可以体现的结果... 可能是100次或者1000次，但实际上，即便按照你的最佳理论，还是很容易破产的，举个例子， 比如我有99%的把握赢100，或者1%的把握输100，按你的算法可能要把几乎全部财产拿去赌，可万一是1%，就几乎等于破产了，破产的风险在1-99%^n~  n%(n为游戏次数)

你举的那个ABCD的例子。。。  看似好比 是一个desicion to make ，可是请问我们每次遇到的情况，哪一次是可以在这ABCD这4个选项中选择的呢？  每一次都是一个特定的值吧。另外如果小筹码计算出来每次都是0,那还玩什么呢... 大家都依靠这个策略，应该所有人都在第一轮all in, 因为第二轮开始，他们的几何期望=0 ;lol

回复 26# donot


   

所以1/2 stack 要2：1odss才值

没说清楚。 应该是coin flip时, 如果输是-1/2 stack， 赢得有+1stack才值。

我的理解：
EV(X)=SUM(Wi*Xi)/SUM(Wi) ，就是加权平均, Wi:权重 。
几何EV(X)=EXP( SUM(Wi*log(Xi))/SUM(Wi)), 就是在对数上加权平均。
直观的说就是：我这把-50%，下把+100% 才能会来。 所以1/2 stack 要2：1odss才值。
我以前想过类似的问题(股市)，这说明了投资要分散风险。 不过LZ用在MTT上不太合适。 如果ICM的假设是对的，LZ要考虑的就已经包括了。

回复 24# Howard
额，大牛出现了。
我确实也觉得举的例子不太合适，而且有些想法还没有清晰的提炼出来，但是我认为我这个想法应该是有些意义的，虽然到底有什么意义现在还没有想的很清楚。
如果howard有时间的话，可不可以也帮着想想这个问题，我提出的这个理论究竟有没有实际的价值。

monox0的21楼是正解，我也看不懂楼主原文的公式。

综合楼主1楼和22楼，我猜他可能是想表达有破产风险时如何决定一系列最佳下注大小的东东。类似Kelly criterion的。Kelly criterion是Blackjack算牌手的bankroll管理法宝。可是楼主举的几个例子都似乎不太合适，好像没说明自己的意思

回复 3# monox0
回答一下你之前的问题，方案A的优化结果为：
每次用x的资金投资，方案A的几何期望为(1+x/2)^（2/3）*(1-x/2)^（1/3），求导或拉EXCEL解得x=2/3，取最大值，即每次用2/3的资金进行A投资可以获得最大收益。

方案B的优化结果为：
(1+x/10)^0.9*(1-x/10)^0.1，解得x=9.75时取到最大值，也就是说对方案B，你应該找人借钱，用9.75倍的本金进行投资！

按照我这个理论，只要可能导致你破产的投资，几何期望均为零。当然并不是说几何期望为零就不能投资，只是在几何期望与代数期望发生背离的时候，要慎重进行决策，而几何期望与代数期望均为正的时候，决策更有而已。

如果是MTT选手，在一场比赛中一定会面临相同EV但是对手不同的决策问题，有了几何期望的概念以后，更容易在这种情况下做出更好的选择。
比如说，简化一下情况，你的筹码量在MTT大概排在top 20%，不存在翻倍或是淘汰的压力。大家都亮着牌打，你手里是AKo，你挑一个人拿JQo推你。目前有几个选手可选。
A的筹码量是你的1/5
B的筹码量是你的1/4
C的筹码量是你的1/2
D的筹码量高于你

其实这正是我们在MTT中BN位置附近经常遇到的情况，时候你如何选择？
AK面对JQ，胜率63%左右（没用poker stove算，我大概估计的）
从EV角度来看，EV都为正，都可以call。
在这种MTT中，ICM分析难度较大，一般都要事后分析。
而从几何期望角度分析，就相对容易一些，假设对手的筹码量是你的x倍。63%胜率的期望为(1+x)^0.63*(1-x)^0.37，当x<1/2时，几何期望均为正，而x=0.26时取最大值，所以从几何期望角度考虑B方案最好。

回复 21# monox0
你用这种方法，算出的是量的期望，在这个期望中，我们只注意这个方案是否为“有利可图”的，而忽视了其方案在风险上的分布情况。而我所创造的（确实是我创造出来的词，因为不知道这个应该叫什么）几何期望，则是指抛开EV，来看该投资方案下最可能的结果，不是在量上进行计算，而是在“率”上考虑。
如果想得到代数期望的结果，必须要有足够多的取样，而在单次决策中，大数定律是不起作用的，我们只能通过概率判断“最可能发生的结果”，我这个几何期望的概念，就是考虑到风险因素，最可能产生的结果。
当然，这个概念在cash游戏中其实用处不是很明显，但是我觉得在MTT中有很大意义。
根据这个理论，只要有可能导致你破产的投资方案，无论代数期望多大，几何期望均为0。
举一个极端点的例子：
某投资方案，10%的可能获得100倍利润，90%的可能损失100%。这种方案连续投资两次的概率分布为：两次都成功，1/100的概率获利10000倍，其他所有可能，最后收益均为0。
从代数期望上看，这个方案是有利可图的，而且是大大的有利可图的，其EV为100，但是这个并不是说你投入100块钱，就可以获得10000的，而实际情况是，只有当你可以重复这个投资次数足够多时，才可以达到这个EV。代数期望是分析投资方案的结果分布情况，而几何期望则是不管结果，只分析这个投资方案本身带给你的影响。

其实有些东西我也没想的很透，所以解释的不够清楚，但是这个概念应该是没问题的

回复  monox0
这个问题以前我也是跟你想的差不多的，但是在想过这个几何期望以后，就意识到这是一个非常重 ...
funnyface 发表于 2011-3-17 11:49

    我数学不好, 几何期望的概念还没消化,你又来一个二叉树... 请教一下你说的第2种情况的期望, 就是你不可变动你资金的情况下,为什么按照A 投资的期望是你写的那个公式?
能给我解释一下吗.

我的理解:    假如我只有100元, 100元是我的全部财产, 我用来做A 这样的投资, 我会得到以下四种情况:

A. 我第一次投资赚, 第二次也赚, 这样的机会是2/3*2/3 =4/9,   我资金变成1.5*1.5=2.25 倍=225
B. 我第一次赚了,第二次亏了, 这样的机会是2/3*1/3=2/9, 我资金变成1.5*0.5=0.75倍=75
C. 我第一次亏了,第二次赚了, 这样的机会是1/3*2/3=2/9, 我资金变成0.5*1.5=0.75倍=75
D. 我运气背,第一次亏,第二次还是亏,这样的机会是1/3*1/3=1/9  , 我资金变成0.5*0.5=25


总结一下, 我有4/9 的机会资金 225, 4/9的机会75, 1/9机会25,所以我的期望是  4/9*225+4/9*75+1/9*25=(4*300+25)/9=1.361= 1.17*1.17  

请问我理解的漏洞在哪里?

怎么又创造出一个几何期望的概念，我只听说过几何分布的期望，从来没听说过几何期望这个说法。