二人Pot Limit Poker的优化策略（更新至2）

学习墙，先发在这里占个地方，等鼓捣出东西来再写。本文将会基于大量阅读他人学术论文。

--------------以下是楼主的内容贴--------------------
11楼
19楼

更新之二：

上篇中提到一点：
1. 甲的Value跟Bluff的范围之比是2：1，

为什么是2：1呢？因为pot-limit游戏中，你下注后，对方得到的pot odds永远是2：1，所以你要让他2/3的时间面对你的好牌，1/3的时间面对你的bluff，这样才是一个优化的，optimal，unexploited的策略。

推广一下，假设双方都可以无限次的raise, 牢记2：1的概念。经过计算得到，甲的下注和加注之间的几个关键点是
0.874， 0.973， 0.994， 0.999  。。。。。。
而甲面对对手的raise，他的call与fold之间的关键点分别是： 0.940， 0.987， 0.997， 0.999 .。。。。。

举例说明，甲的牌是0.98，介于两个关键点0.973和0.987之间。他的优化策略是主动下注，并且当对方加注的时候跟注。

现在向扑克的方向靠拢。假设双方不是各拿到一个0-1的数，而是拿到一手扑克牌（五张），用这手牌进行下注。牌是从52张的一副牌中发的。每人有C（52，5）=2,598,960 种组合

很容易想到，扑克牌虽是离散的，但是可以把这离散的牌“映射”到区间【0，1】，按照这个下注就可以了。这个思路是基本可行的。说“基本”，而不是“完全”，主要是因为两点：

1. 很多牌的牌力完全相同，比如仅仅是花色不同的两手牌。
2. 因为只有1副牌，一手牌可能跟其他的牌“相克”，造成排序不定。比如5432A的同花顺，对手可能有31种更高的同花顺，或者3种相等的同花顺；而AAAA6，尽管牌力的排序不如前面的5432A同花顺，却只有27个其他同花顺可以打败它。

好在这两点无伤大雅。仍然按照2,598,960 种组合总排序，牌应该这样打：

真不是一般的没有用。

高手一定有自己的东西的，要是有好的理论并能充分运用到实战上去，那就是财源滚滚了，首先当然是有理论先。

这个帖子得养肥了看，喜欢看技术帖。。。但是更关注最后的结论
darkillermax 发表于 2010-12-24 11:40

结论可能对打扑克没啥指导意义，就是好玩，呵呵，您别失望。

Good Idea.
终于有理论家将目光投向了  奥马哈。
坐位看 霍华德讲故事。

这个帖子得养肥了看，喜欢看技术帖。。。但是更关注最后的结论

赞！！！

不是一般的复杂呀。

先复习一下前面提过的东东。

我在《扑克的本质笔记》中提到一个例子：
（http://zhiyoucheng.com/viewthrea ... p;extra=&page=7） 第65楼

甲和乙对赌，每人先投入1块钱进底锅，初始底锅为2. 然后每人发一张牌，他们的牌是在(0,1)这个开区间任意取的一个随机数，比方说0.251，0.169004等等。由于区间是连续的，他们两人的牌相等的概率为0。然后甲先决定，他如果check，乙就只能跟着check（不能raise）比大小，牌大者赢；如果甲bet，他必须下注potsize也就是2，此时乙可以选择call或者fold。

如果两人都打优化策略，他们会这样打：甲拿到大于7/9的数会下注（value），拿到小于1/9的数也会下注（bluff），任何中间的数都check；乙拿到大于5/9的数会call，小于5/9则fold。

注意两点：
1. 甲的Value跟Bluff的范围之比是2：1，
2. 乙的跟注点夹在甲value和bluff的中间（未必正中间）

现在扩展一下，让乙也有bet的权利。也就是说，当甲check的时候，乙也可以bet，bet大小还是potsize。甲bet的时候，乙则不可以reraise，还是只能call/fold；甲也不能check-raise。

甲有三个选择：它可以bet，check-fold，或是check-call。他把他所有的牌（0，1）分为四部分，最小的牌，(0,a)，他bet进行bluff；稍微好一点的牌（a，b），他check-fold；再好一点的牌（b，c），他check-call；最强的牌（c，1），他bet。而且0<a<b<c<1。

再看看玩家乙。如果甲bet，乙有两个选择call或者fold。研究表明这时乙可以找到一个值d，他的牌在（0，d）的时候就fold，在（d，1）的时候就call。如果甲check呢，乙也有两个选择，check或者bet。注意这时乙的bet既可以是value bet也可以是bluff，所以我们有两个值e和f，当乙的牌在（0，e）的时候就bluff bet，（e，f）的时候就check，（f，1）的时候就value bet。这里的0<e<f<1

甲乙的优化策略如下图所示：



计算过程就按下不表了。a=1/12，b=1/2，c=5/6，d=1/2，e=1/6，f=2/3。

解释一下这些数字：甲bet他1/4的牌而check剩余的3/4；当他bet的时候有1/3是在bluff；当甲bet的时候乙call一半fold一半；当甲check的时候乙check一半bet一半。