一道纯概率题

巴萨和皇马德比238场，没有任何一个队连输5场过
我们假设两队势均力敌，每次交锋都各50的概率赢
那么238场比赛不出现5连输或更多连输的概率有多大

我感觉应该挺小的

为什么要算这样的题呢?
enenppl 发表于 2010-12-6 19:31

    因为我觉得算出这道题来的愉悦感效应超过花在这道题的时间上的机会成本。你得承认有些人就是这样，他被一个东西迷住以后不弄出来简直就是日思夜想。

对于K（n+1）=2K（n-1）+ K（n-2）就是斐波那契数列的证法，其一可以用数学归纳法，也是最简单的方法， ...
damajer 发表于 2010-12-6 17:21

    唉，差距太大了，这个证明的思路，我自己再琢磨1年也想不出来。

为什么要算这样的题呢?

赞一个先！思路独特，清晰简洁，我暂时没发现任何不对劲的地方。

帮忙看一下我62楼的问题如何？ ...
Howard 发表于 2010-12-6 10:30

对于K（n+1）=2K（n-1）+ K（n-2）就是斐波那契数列的证法，其一可以用数学归纳法，也是最简单的方法，证法略；另外也可以纯用数学方法推导，证法如下：


我们先把原公式写成K(n+1)-aK(n)-bK(n-1)=s[K(n)-aK(n-1)-bK(n-2)]的形式，然后列出所有项：

K(n+1)-aK(n)-bK(n-1)=s[K(n)-aK(n-1)-bK(n-2)]
K(n)-aK(n-1)-bK(n-2)=s[K(n-1)-aK(n-2)-bK(n-3)]
K(n-1)-aK(n-2)-bK(n-3)=s[K(n-2)-aK(n-3)-bK(n-4)]
...
K(4)-aK(3)-bK(2)=s[K(3)-aK(2)-bK(1)]

以上各项左右相乘消项，得：

K(n+1)-aK(n)-bK(n-1)=s^(n-2)[K(3)-aK(2)-bK(1)]

由K(3)=2,K(2)=1,K(1)=1,代入得：

K(n+1)-aK(n)-bK(n-1)=s^(n-2)(2-a-b)

然后我们要解出s、a、b的值。由原式我们可列出一个方程组：

a+s=0
b-as=2
-bs=1

注意这里可能会有多个解，但我们只需要其中一个解就够了。我们可以用投机取巧的方法：假设a=1，b=1是原式的解（因为如果a=b=1是该式解的话对于我们来说将更方便地得出结论），代入解出原式的一个解为：s=-1，a=1，b=1。代入我们刚刚解出的方程，即得到斐波那契的递推公式：

K(n+1)=K(n)+bK(n-1)

被一个笑话引了过来，一早上都在看这个了。

要证明Howard的公式就是斐波那契数列其实可以用个简单的方法 ...
taoljj 发表于 2010-12-6 11:11

    枚举可以证伪，只要有一个不符合就足够了；但无法证实，因为就算枚举到100000时都没问题，难保下一个就有问题。有点像哥德巴赫猜想，算到10^10000000了都吻合，但是仍然无法证明，呵呵。我那个公式推到斐波那契数列可能很简单一步就能过去，但是我卡壳了就是想不到。

本帖最后由 Howard 于 2010-12-5 05:38 编辑

总结一下我的疑问：如何证明K（n+1）=2K（n-1）+ K（n-2）其实就是菲薄拿起数列K（n+1）=K（n）+ K（n-1）???
Howard 发表于 2010-12-5 05:37

被一个笑话引了过来，一早上都在看这个了。

要证明Howard的公式就是斐波那契数列其实可以用个简单的方法-枚举法：
因为根据题意得知：K（2）= 3 ，K（3） = 5，K（4） = 8，带入公式可枚举出的数列就是斐波那契数列，不知howard认可否？

再把公式改得完美一点：

两队n场比赛不出现m场连胜或连败的可能性为：2*p(n,m)/2^n

其中p(n,m)=p(n-1,m)+p(n-2,m)+...+p(n-m+1,m)

当m=3时，p(n,3)为斐波那契数列。

原题为m=5的情况，通项公式待求。。。
damajer 发表于 2010-12-5 19:38

从最初始的几场算了一下，确定了一下初始条件。

n场巴萨不出现3连输概率是 F3(n+2)/2^n, 其中F3(n+2)表示3阶斐波那契数列的第n+2个数；
n场任一队均不出现3连输概率是2×F2(n+1)/2^n，其中F2(n+1）表示 2阶斐波那契数列（也就是普通斐波那契数列）的第n+1个数；

n场巴萨不出现4连输概率是 F4(n+2)/2^n, 其中F4(n+2)表示4阶斐波那契数列的第n+2个数；
n场任一队均不出现4连输概率是2×F3(n+1)/2^n，其中F3(n+1）表示 3阶斐波那契数列的第n+1个数；

n场巴萨不出现5连输概率是 F5(n+2)/2^n, 其中F5(n+2)表示5阶斐波那契数列的第n+2个数；
n场任一队均不出现5连输概率是2×F4(n+1)/2^n，其中F4(n+1）表示 4阶斐波那契数列的第n+1个数；

n场巴萨不出现m连输概率是 Fm(n+2)/2^n, 其中Fm(n+2)表示m阶斐波那契数列的第n+2个数；
n场任一队均不出现m连输概率是2×F[m-1](n+1)/2^n，其中F[m-1](n+1）表示 m-1阶斐波那契数列的第n+1个数；

回到墙的问题，238场任意一队不出现5连输：
n=238时，F4（n+1）= F4(239) = 3.84651E+67
2×F4(n+1)/2^n = 2*3.84651E+67 / 4.41712E+71 = 0.0174%

终于算出来了！

---附：m阶斐波那契数列的第k个数定义如下-------

1） 当k<=0时，Fm(k)=0;

2) 当k=1, k=2时，Fm(1)=Fm(2)=1;

3） 当k>2时，Fm(k)=Fm(k-1) + Fm(k-2) + ... + Fm(k-m)

再把公式改得完美一点：

两队n场比赛不出现m场连胜或连败的可能性为：2*p(n,m)/2^n

其中p(n,m)=p(n-1,m)+ ...
damajer 发表于 2010-12-5 19:38

    赞一个先！思路独特，清晰简洁，我暂时没发现任何不对劲的地方。

帮忙看一下我62楼的问题如何？

再把公式改得完美一点：

两队n场比赛不出现m场连胜或连败的可能性为：2*p(n,m)/2^n

其中p(n,m)=p(n-1,m)+p(n-2,m)+...+p(n-m+1,m)

当m=3时，p(n,3)为斐波那契数列。

原题为m=5的情况，通项公式待求。。。