Random Walk

今天帮一个朋友计算点东西，还没算出来，但是学到了一点新知识

先拿非人类语言来说：random walk with a boundary of -a and b. the expected steps is ab to reach either boundary.

半人类语言：随机漫步，往东a步跟往西b步，无论到那一个都停止，则预期步数为ab。

人类语言：假设赌场有一种不抽水的赌大小，我们去玩，每次押1元，输a元，或者赢b元就跑。则我们预期玩的把数为ab，输a元的概率为b/(a+b), 赢b元的概率为a/(a+b)

比如输1元或者赢1元就跑，那么预期把数为1。（这不废话吗）
输1元或者赢5元就跑，预期打5吧。
输1赢100，预期打100吧。（当然，大部分都远远小于100把，但有少部分非常非常大。99.01%的情况都以输一把结束。只有不到1%能赢100）
输100或者赢100，预期要打1万把。

JCreeks11 发表于 2016-4-5 20:59
这里构造一个exponential martingale就可以了。

定义 X_i=-1, with probability q, =1-.2, with probabi ...

高人，高人！！

您说的这些概念我先古狗自学一遍，现在说不上话。。。。

Howard 发表于 2016-1-6 22:27
确实是说了半天没有提出真正的问题，发帖只不过是把自己的学习过程记录一下。

这个朋友要我算一个有边界 ...

这里构造一个exponential martingale就可以了。

定义 X_i=-1, with probability q, =1-.2, with probability p=1-q. S_n=\sum_{i=1}^n X_i, where X_i's are i.i.d.

构造e^{cS_n},使得他是一个martingale。这里c 是超越方程 p*e^{.8c}+q*e^{-c}=1的解。

然后用optimal stoppoing theorem，可以算得赢到m 的概率为 (1-e^{-cn})/(e^{cm}-e^{-cn})。

EV就很好算了。

Howard的功力真让人配服！

monox0 发表于 2016-1-6 00:51
霍神的问题是什么？  random walk 就是 对n 重 概率为p 的白努力试验求和呗。

确实是说了半天没有提出真正的问题，发帖只不过是把自己的学习过程记录一下。

这个朋友要我算一个有边界的EV，比如赢到m或者输到n就走，他对该过程中所有赢的牌抽水20%，求这样一个session他的EV。

查了好几天也没有把公式搞出来，只好编程模拟搞定了。

shym 发表于 2016-1-3 16:12
从Howard的公式里看到好多个杨幂喔！

杨幂明显不太喜欢搭理我，因为太难。

我发现加法和乘法组合在一起，经常出现很难的东西。数论的大多数关于猜想，都是加法跟乘法的组合。比如哥德巴赫猜想，孪生质数猜想，费马猜想（如今的费马大定理）。还有黎曼猜想，abc猜想。

霍神的问题是什么？  random walk 就是 对n 重 概率为p 的白努力试验求和呗。

从Howard的公式里看到好多个杨幂喔！

Howard 发表于 2016-1-1 09:51
搞了半天还是没找到biased random walk with unequal step sized between boundaries的函数，只好使用最初 ...

大概是要找一个赢了走人输了止损的点

然后根据自己的历史统计来调整？

问题是，调整以后呢？胜率p会影响步长么？