恒星距离引发的疑案

今天中午正在吃午饭，不知为什么，我突然想起恒星距离的话题。仅在银河系，就有一千亿颗以上的恒星，而最近的恒星到我们也有4光年多，算成英里那得数不清多少零了。

由此又想到，在晴朗的夜空随便指一颗恒星，其跟地球的距离大概是高度随机的，因为恒星距离地球横跨若干个数量级，最近的几光年，而银河系有十万光年尺度。就算不理会其河外星系，这随机度也足够了，至少够我下面这个实验：

这实验测定该恒星和地球距离，用英里来表述，则此数字的最高位，感觉应该是个纯随机数，在1-9之间均匀分布。 这结论应该没什么问题，你凭啥说3百亿多英里就多于或者少于6百亿多英里的

或者，再加一个前提，假设宇宙所有恒星均可见，这样就避免了“可视范围太窄”这样的非数学因素捣乱。

这结论出来后，再把这星地距离从英里换算为公里，就很有意思。

英里乘以1.6得到公里数，这大家都知道。

最高为9/8/7和部分6开头的英里数，换算为公里之后，其最高为都变成了1
比如，7亿英里变成11.2亿公里。

如果英里数的最高位（以下简称m）是1-9均匀分布，那么公里数的最高为（以下简称k）就不是均匀分布了，而且差别很大。
k是1的概率，远高于是其他任意一个数字的概率

这显然是荒谬的。因为英里和公里在这里是人工随便选择的，并不具有特殊意义，按照上述逻辑，如果我一上来就用公里测量的话，k就是应该符合1-9均匀分布的哪一个。

问题出在哪里？

后来我找到了本福特定律也叫首位数定律

Howard 发表于 2015-6-10 01:00
本福特定律不仅可以预测最高为，还可以预测第二位。

上贴的式子提到，一堆符合本福特定律的数字，其最高为 ...

挑个骨头，可以推论第n位数字为某个数的概率随着n的增大会变得越来越符合均匀分布，但是不能说末尾数位某个数字的概率也是符合均匀分布的。末位数所在的位数不是固定的啊。

比如说末尾数为1的概率应该是 Pn(1) * Pd(1， 1) + Pn(2) * Pd(2， 1) + Pn(3， 1) * Pd(3) + Pn(4) * Pd(4， 1)... + Pn(x) * Pd(x, 1)，其中Pn(n) 是一个数的位数为n的概率，Pd(m, n)指的是一个数第m位为n的概率，x是所考虑的数的最大位数。


如果所考虑的数的位数非常大，那各个数字在末位的概率可能差别还不是很大，否则的话，其差别可能还是很明显的（未经验证）。


从另一个角度说，Howard提出的对首位数的悖论对末位数也一样成立不是？

donot 发表于 2015-6-6 06:04
首位数不是随机分布的，末位数是。如果是十进制，首位数与单位无关。

末位数也不是随机分布的

snowsnow 发表于 2015-6-12 01:33
从不知道他研究的那个猜想有啥NB的。

数学大师丘成桐: 没谁认为哥德巴赫猜想是皇冠上的明珠。

当然他水平很高，
好比我们就知道常用几千个汉字，
据砖家说汉字有30万个(?)，好些只有专家认得，

wzq 发表于 2015-6-10 14:58
如果陈景润全职打扑克，那会是啥样，还不得搞出个德州布拉夫猜想。

从不知道他研究的那个猜想有啥NB的。

数学大师丘成桐: 没谁认为哥德巴赫猜想是皇冠上的明珠。

如果陈景润全职打扑克，那会是啥样，还不得搞出个德州布拉夫猜想。

跪拜数学大神

本福特定律不仅可以预测最高为，还可以预测第二位。

上贴的式子提到，一堆符合本福特定律的数字，其最高为数字为d，则d出现的概率满足：
P(d) = log(d+1) - log (d)
注：log 以10为底

其实，把最高位d换成数字本身n，一样成立。
P(n) = log(n+1) - log (n)

这样，我们就可以计算第二位数字的出现频率。

比如，“2”出现在首位的概率是17.6%，那么2出现在次位的概率是多少？
2出现在次位，首位可以是1到9
所以只需计算前两位是12、22、32.。。。。。92的概率，加起来就行了

log(13)-log(12)  + log(23)-log(22)  + .....  + log(93) - log(92) = 0.109

第二位可以取0，所以有10种可能，如果平均分布是0.1

可见次位的分布就均匀的多了。到了末位，基本就跟7楼说的一样，均匀分布了。

本福特定律的数学表达是：

一堆符合本福特定律的数字，其最高为数字为d，则d出现的概率满足：
P(d) = log(d+1) - log (d)
注：log 以10为底

这什么意思呢？也就是说，最高位的概率满足对数尺度的均匀分布。或者再说开了，也就是说所有的数据都满足对数尺度的均匀分布。

什么叫对数尺度？可能大家看股市走向是接触最多。下面道琼斯近30年来的图形。第一个是正常尺度，第二个是对数尺度：


在正常尺度下，显示的是绝对数值的变化，所以前期股市的波动都变得无限小，后面的波动现得很大。
而对数尺度下，股市从100点到150点，其变化看起来跟10000点到15000点一样的规模。

对数尺度在数轴上的表示是这样的：


如果把恒地距离、股市指数等数据标注在这个数轴上，应该是大致均匀分布的。

老霍打个酱油都这么高深。

首位数不是随机分布的，末位数是。如果是十进制，首位数与单位无关。