河牌下注/跟注的GTO策略

模型假设
1，我们假设在河牌的时候玩家A的手牌范围已经极化，而玩家B的牌力只能赢所有A的诈唬。
2，不管是A没有位置先考虑bet，或者B在前位先过牌给A，我们假设这里最多只有一次下注和一次跟注（即不考虑玩家B在前位下阻断注或者B在后位加注A的下注）。
3，通过前面的action。A和B都大概知道这里A的强弱牌比例。

设：
河牌下注前的底池大小为1.
A的下注大小为X（如果下注）
A的强牌比例为R
A的弱牌诈唬频率为F
B的跟注频率为Y（显然R/F/Y都在0和1之间）

我们现在讨论：
1，玩家A的GTO策略

对不熟悉GTO的玩家再提一下，GTO是使得对方无法通过改变策略来提高他的期望回报（ev）的策略。在这里对方B的策略只涉及到以什么频率跟注来试图抓A的诈唬。显然A的所有强牌都必须下注，所以我们实际上是在计算A的弱牌诈唬频率，即F为多少时，可以使得不管B以什么频率Y跟注B的期望回报（ev）都相等。列出B的ev：

a）A放弃诈唬过牌，B直接赢下底池，ev：（1-R)*(1-F).
b）A诈唬下注X，B跟注，ev：（1-R)*F*Y*(X+1)
c）A价值下注X，B跟注，ev： R*Y*(-x)
d)  A诈唬/价值下注X，B弃牌，ev：0. 我们以这里为ev的参考临界点。选择其他临界点不影响结论。

所以B的ev是（1-R)*(1-F)+（1-R)*F*Y*(X+1)-R*Y*X

我们求F使得上面Y的系数为0（这样不管Y多少B的ev相等,即B无法通过改变策略来改变ev)，得到A的GTO诈唬频率为：F = RX/(1+X-R-RX)。这时候B的ev就是（1-R)*(1-RX/(1+X-R-RX))

比如A的强牌比例只有20%（R=0.2)，而河牌他下注了1个底池(X=1)，那么从这个式子可以得出他的GTO诈唬频率应该是12.5%. 而B的ev为0.7.注意到由于A的强牌比例只有20%，在下注前底池为1的时候B的ev是0.8，也就是A通过下注压缩了B的ev。这里有很多人对GTO有一个误区认为GTO是不增加自己ev的行为。实际上从这里可以看出A通过GTO的下注频率提高了自己的ev。

2，玩家B的GTO策略

同理，B的GTO策略是使得A无法通过调整A的诈唬频率来改变A的ev。我们只需要列出A的期望式：

a）A放弃诈唬过牌，B直接赢下底池，ev：0.以此为ev参考点
b）A诈唬下注X, B跟注，ev：(1-R)*F*Y*(-X)
c）A价值下注X，B跟注，ev：R*Y*(X+1)
d) A诈唬/价值下注X，B弃牌，ev：(R+(1-R)*(1-F))(1-Y)

所以A的ev是(1-R)*F*Y*(-X)+R*Y*(X+1)+(R+(1-R)*F)(1-Y) （可以验证A的ev和上面B的ev和为1，即底池的现有死钱）

同理，我们解出Y使得F的系数为0，得到B的GTO跟注频率为Y = 1/(1+X).这时候A的ev就是R（2-1/(1+X))

注意这里正好与A的强弱牌比例无关。如果河牌A的下注正好是一个底池，B的GTO跟注频率就是50%（这里我看过一个ISSAC HAXTON的采访他也提到过这个频率，当时没算，现在算是验证了）。而A的ev是1.5R。

细心的读者要问了，如果A这里强牌比例高达90%，他下注了一个底池，B还要去跟注吗？按照定义，跟注50%在这里仍然是GTO。A的ev为1.5×0.9=1.35，不会因为A的bluff频率F改变。但是显然从提高B的ev（压缩A的ev）来说B简单100%弃牌给A的下注就可以。这时候Y=0，A的ev是 R+(1-R)*F=0.9+0.1F。可见A可以通过提高诈唬频率F到100%来“剥削”B，所以B的策略不是GTO。但是即使F=1,他的ev也是1（即拿下现有底池），对方的ev也比1.35要低。那么当A的强牌比例超过多少的时候B应该100%弃牌呢？很简单，数学上看使上式中Y的系数为正即可（设F=1，因为这时候即使A诈唬100%他的弱牌我们也弃牌），即B的跟注频率Y越大，A的ev会越高，可以得出R>=(X+1)/(2X+1).或者说A的弱牌<=1-R=X/(2X+1), 注意，X/(2X+1)正好是A给B的底池赔率。所以当A给出的底池赔率大于他的弱牌比例的时候。B弃牌的策略会优于GTO，这也符合我们的直觉。


这里进一步强调上面的观点，GTO并不一定是对ev无影响，可能是提高我们的ev，也可能是降低我们的ev。

现在我们有双方的GTO策略，那么我们可以来看当某一方偏离GTO的时候另一方针对性策略是什么。

3，玩家A的针对性策略

从两个式子来看A的ev是关于F的单调函数。当B的跟注频率过低即Y<1/(1+X)时，A需要诈唬100%（F=1)达到最大EV。回到最开始假设的例子，如果下注一个底池（X=1），A的强牌比例是0.2，而B的跟注频率<50%的时候A需要诈唬100%，这时候A的ev是1-1.4Y。我们从上面知道当A用GTO策略的时候B的ev为0.7，即A的ev为1-0.7=0.3.因为这里Y<0.5,所以A的ev>0.3且随着Y的减少增大。针对性策略的ev应该永远不小于GTO的ev。


反过来，如果B的跟注频率过高即Y>1/(1+X),我们需要从不诈唬自己的弱牌（F=0),这时候A的ev是R+RYX。回到这个例子变为0.2+0.2Y.因为Y>0.5,所以A的ev同样大于0.3，且随Y的增加而变大。


我们再进一步研究一下A的下注大小X。

a)如果B使用的是GTO策略，我们知道A的ev是R(2-1/(1+X)),是一个对X的单调递增函数。所以A的策略应该是进行最大的下注（NL里面就是ALL IN,PL里面为下注一个pot即X=1).在这样的情况下如果X无限大，A的ev能达到2R。但是我们上面讨论过的边界条件限制了B不会在赔率不够的情况下跟注，所以当R>=0.5时，A只需要根据R来下一个赔率刚好的X就可以，即X=R/(2R-1）-1，并且下注100%的时候。这时候A的ev永远都是1.在POT LIMIT的情况下显然A应该用X=1,这时候A的最大EV是1.5R.

b）如果B偏离GTO。我们知道B的GTO跟注频率应该是1/（1+X), 这里我们需要假设B的偏移的函数形式。再代入A的ev公式对X进行求导使得我们能得出X的最合理值使得A的ev最大化。

举个例子，假设B的跟注频率是1.2/（1+X），显然他跟注太多，我们这里转为从不诈唬。然后将F=0,Y=1.2/(1+X)代入A的ev公式变为：2.2R - 1.2R/(1+X),在这个简单的假设下是一个对于X的单调函数，那么我们这里还是下最大的可能注。在POT LIMIT的情况下EV变为1.6R。而X非常大的时候EV可以达到2.2R。

4，玩家B的针对性策略

从B的ev式子里面可以看出是关于Y的单调函数。所以当A的诈唬频率高于F = RX/(1+X-R-RX)时，B简单的跟注所有下注。比如我们的例子X=1,R=0.2如果A的诈唬高于12.5%的话B的ev变为0.6+0.8F>0.7.当F=1的时候ev可以达到1.4.

反过来如果A的诈唬频率过低。B简单的对所有下注弃牌,Y=0,ev变为(1-R)*(1-F).回到上面的例子，R=0.2，如果F=0，B的ev来到0.8，实现了他的全部死钱价值。

希望通过这个简单的模型加深大家对GTO的理解。这方面国外或者国内很可能有类似或者更系统的讨论，我也懒得去做literature research，如有雷同，纯属巧合。如有错误或者遗漏的地方，欢迎大家批评指正。

再次拜读。真不愧我扑克圈最大的偶像YYY6

小胖 发表于 2016-7-3 17:29
老墙咋的啦？

顶起来看

伟大的墙 发表于 2016-7-3 14:25
这里呢

老墙咋的啦？

这里呢

JCreeks11 发表于 2016-5-5 11:45
我没说清楚。结论是：

筹码无限深的情况下，有a%nuts牌的一方，最多可以用a%的烂牌bluff走对方，对方没 ...

我是看了你40楼关于"现实意义"的结论跟过来回帖的。我觉得实战中通常不宜假设只有己方才可能有nuts。另外关于最多可以掩护a%的烂牌咋呼也是因为己方牌力极化的假设，实战中肯定远远高于a%。

bomb 发表于 2016-5-5 11:33
你的意思是说，如果两个玩家都玩GTO，筹码无限深的情况下，可以互相把对方无条件打fold？那到底是谁fold ...

我没说清楚。结论是：

筹码无限深的情况下，有a%nuts牌的一方，最多可以用a%的烂牌bluff走对方，对方没有任何办法。

JCreeks11 发表于 2016-5-5 11:09
诈唬率F可以调整使得对方无法跟啊。我不是说了F和X都是决策吗。

你的意思是说，如果两个玩家都玩GTO，筹码无限深的情况下，可以互相把对方无条件打fold？那到底是谁fold啊？

yyy6 发表于 2016-5-5 11:26
对啊。你调整F的意思不就是不能100%诈唬吗？假设我们rep的强牌只有10%，即使你是100倍pot all in。F也大概 ...

这个我同意，1%的nuts最多只能“掩护” x/(x+1)%的bluff。

其实两极分化的问题还是比较容易解决的，难的是还有中间的牌。

JCreeks11 发表于 2016-5-5 11:09
诈唬率F可以调整使得对方无法跟啊。我不是说了F和X都是决策吗。

对啊。你调整F的意思不就是不能100%诈唬吗？假设我们rep的强牌只有10%，即使你是100倍pot all in。F也大概只有11%多一点而已。另外80%的时候我们只能过牌放弃，所以不是range里面有nuts就有那么美好的，