多街诈唬频率和Game Theory 续篇

深筹码下的诈唬频率和GameTheory 续篇

上篇《深筹码下的诈唬频率和GameTheory》主要是站在下注者的角度来讨论多街的诈唬频率。本篇更多地站在防守者的角度，继续研究多街情况下的gametheory应用。废话少说，上模型。

模型重述

甲乙二人在单挑牌局。筹码足够深。

假设：

·        还剩两轮下注

·        所有下注均为potsize

·        甲牌力无发展潜力且基本打明；乙听牌，有20%的可能发展为更好（80%是空气）

注意这个模型里位置无关紧要，因为甲永远不可能下注。

先关注最后一轮下注，乙应该在30%的时间下注，其中当然包括20%的好牌，然后用这些好牌“掩护”10%的空气。这样乙的打法实现GTO，甲全fold、全call、以及采取任何程度的fold、call混合都是一样的EV。如果底锅是100元的话，乙可以获得30元的EV。同时，我们不妨假设甲的策略是始终fold。

现在我们来看看两轮下注的情况。我们已经知道了，乙在河牌有30%的几率能不亮牌拿下锅。这就意味着乙可以在转牌下注45%的机会。这里面，因为20%是好牌，另外25%是诈唬。但是，在某种意义上，只有15%是真正的诈唬。这是因为另外所有的30%他都能在河牌拿下。

现在我们来看看乙是怎么实现这样GTO的下注的。在转牌，他下45%。到河牌，他要放弃这里面的三分之一，拿另外三分之二下注，而这三分之二里面的好牌和空气比例是二比一。只要乙以这种方式设计下注的流程，甲就无论怎么样EV都是相等的。如果你不信，我把计算过程列一下。假设这手牌玩了100次。

如果甲在转牌全部fold掉，那么这100手牌玩下来，甲有55手能捡到底锅100，因为乙只下注45手。这样，甲平均每手的EV是55元。

如果甲的策略变成call转牌，却fold河牌呢？那么：

·        有55手他能得到免费亮牌机会并全部赢下100的底锅；

·        有15手他赢下200；

·        有30手他输100；

平均下来，每手牌的EV的还是55元。

如果甲的策略是一路call到底呢？那么：

·        有55手他能得到免费亮牌机会并全部赢下100的底锅；

·        有15手他赢下200；

·        有10手他能赢下500；

·        有20手他输400；

平均下来，每手牌的EV的照样还是55元。

站在甲的角度

现在，我们来站在甲的角度，来看看如果我们知道对手并未采用上述符合gametheory的下注方式时，该怎么应对。

如果仅剩下一轮下注，那应对方式是显而易见的：对手诈唬太多我就call，对手诈唬太少我就全部fold。

难点就在于还剩两轮下注怎么办。在我们的例子中，如果乙在转牌的下注含有太多的诈唬，那我们仍然必须得call。之后，河牌是否继续call取决于你认为他是否有高于1/3的下注是bluff。

反之却不然。如果乙在转牌上诈唬比GTO稍微低一点，我们（作为甲）的正确应对策略未必是fold，可能仍然要call。原因在于对手在河牌的下注可能严重偏离GTO。下面举例，还是假设玩100次。

这100手里，我们推荐的GTO，是乙需要在转牌下45手。现在乙在转牌上下注40手，比GTO标准略低，此时是否应该call取决于乙的河牌策略跟GTO差距多大。

如果乙在河牌下注29手（略微低于建议30手的GTO），那么我们河牌显然应该全部fold，那么，转牌上我们跟注仅能在40手里面拿下11手，不够potodds所要求的1/3。

然而，如果乙在河牌仅下注25手（严重低于建议30手的GTO），那么我们在转牌的跟注就能在40手里面拿下15手，足够potodds要求的1/3，所以最佳策略就变成了转牌call，之后河牌fold。这样做的话：

·        有15手牌甲能赢到200（乙bet转，check河）；

·        有25手牌甲输100（乙bet转，bet河，其中20手value5手bluff）；

平均下来，甲每一次call能获得5元利益，比fold好。

如果乙在河牌下注的诈唬频率过高呢？假设乙在河牌会下注35手（严重高于建议30手的GTO），那么，甲的正确应对策略变成了应该call转牌且call河牌。这样做的话：

·        有5手牌甲能赢到200（乙bet转，check河）；

·        有15手牌甲赢下500（乙bet转，bet河，bluff）；

·        有20手牌甲输400（乙bet转，bet河，value）；

平均下来，甲每一次call还是能获得5元利益，比fold好。

同样道理，如果乙在河牌的下注仅仅是稍微高于GTO，比如他下31手，那么甲在转牌还是fold为佳。其具体计算不再陈述。

我们看到一个有趣的结论，就是，我们作为甲，明知乙在转牌的诈唬频率低于GTO，却可能能够call而获利，只需要乙在河牌打法严重偏离了GTO即可，而且这种偏离可以是向任意一个方向的：既可以是诈唬过多，也可以诈唬过少。

要提醒注意的是，这种情况的发生，仅在乙在转牌下注稍微少一点（比GTO要求的诈唬频率稍微低一点）是可能的。如果乙的下注少太多，比如他在转牌仅仅对30手或者更少的牌下注，则不管他河牌玩的多烂，我们现在都只能得fold。如果他转牌下注仅仅略微高于30，那么他河牌就得玩得特别烂，我们才能找到转牌call的获利机会。

模型函数

假设100手里面乙在转牌下注x手，在河牌下注y手。甲的EV是z元。

先来看甲call转牌，fold河牌的EV：

·        有x-y手牌甲能赢到200（乙bet转，check河）；

·        有y手牌甲输100（乙bet转，bet河）；

所以，z1= (200(x-y) - 100y )/100 = 2x-3y

若要此打法有利润，需z1>0，也就是y<2x/3；

再来看甲call转牌，call河牌的EV：

·        有x-y手牌甲能赢到200（乙bet转，check河）；

·        有y-20手牌甲赢下500（乙bet转，bet河，bluff）；

·        有20手牌甲输400（乙bet转，bet河，value）；

所以，z2= (200(x-y) + 500(y-20) - 400*20 )/100 = 2x+3y-180

若要此打法有利润，需z2>0，也就是y>60- 2x/3

暂时没找到把两个函数绘制在一个坐标系里的工具，所以交线什么的都不太明显。明天我争取手绘一副传上来

最后再声明一下，这一系列是着重理论研究，设置了很多假设前提，所有结论都只有在这些前提下才成立。但是，笔者相信，只要理解了这些结论背后的道理，在现实牌局中也找到足够近似的情况以实践这些东西。

Howard 发表于 2014-11-8 00:23
图片是用免费软件GNU Octave制作的，网站octave-online.net
用MATLAB也可以，但是我换了电脑还得重装，懒得 ...

顶这个贴子，不为别的，就冲着这免费软件。

matlab同了很久，很强大，但是要搞茫茫多的包。

图片是用免费软件GNU Octave制作的，网站octave-online.net
用MATLAB也可以，但是我换了电脑还得重装，懒得麻烦
Octave基本与MATLAB兼容，因为它的目标就是“比MATLAB更全、更好”的软件

用的Mathematica?

学习！~

Howard 发表于 2014-11-7 13:48
终于找到了在一个坐标系内划多个图的方法，贴图如下。所有图都是一个内容，只不过从多个角度来看：

请问这是什么软件

很漂亮

Wee 发表于 2014-11-7 13:52
@Howard 你真是个人才!

这

引用要注明出处

Howard 发表于 2014-11-6 23:48
终于找到了在一个坐标系内划多个图的方法，贴图如下。所有图都是一个内容，只不过从多个角度来看：

@Howard 你真是个人才!

终于找到了在一个坐标系内划多个图的方法，贴图如下。所有图都是一个内容，只不过从多个角度来看：



图中有三个平面。其中两个彩色的是斜的，呈X状交叉，分别代表甲的两种策略：call turn fold river, call turn call river.
其中颜色较深，靠读者近的那个，是call turn fold river；
颜色较浅，靠读者远的，是call turn fold river
z坐标是EV
x坐标是乙的转牌bet百分比，也可理解成100手牌下注多少
y坐标是乙的河牌bet百分比，也就是100手牌里面有多少河牌下注

为了直观起见，我又加了一个z=0也就是0EV的平面，也就是图中青色的那个。

从图中可以看出：
当乙转牌下注太少（x趋向40）时，只有河牌下注y偏离GTO值30较大，甲的两种策略才会浮出水面有+EV；
当乙转牌下注恰好是GTO值 45，则河牌下注必须也恰好是GTO值30，甲才会0EV；河牌下注稍微偏出，则甲某一策略会+EV，以意味着转牌可以profitably call。
当乙转牌下注多过45时，甲总是可以call且至少一个+EV策略，无论乙河牌怎么玩。当乙转牌下50手时，河牌下注在相当大的范围内（25-35），甲两种策略都是+EV的。

还能看出很多东西，以后想到再加


---------------Octave Online代码供自己以后用，看官请忽略--------------------
网站：octave-online.net
代码：

octave:10> f=@(x,y) 2*x-3*y;
octave:11> ezmesh(f,[40,55,20,40])
octave:12> hold on
octave:13> f=@(x,y) 2*x+3*y-180;
octave:14> ezmesh(f,[40,55,20,40])
octave:15> f=@(x,y) x*y*0;
octave:16> ezmesh(f,[40,55,20,40])
view( 24, 33)   %改变视角

dfu2012 发表于 2014-11-7 00:01
在老墙那个贴里，我的第一个问题是这样的。

{{{{{{{{{

尼玛，我真服了你了，说我避实就虚，在现金桌子从preflop到postflop，跟注率最高的(除非升级3bet 4bet等等，当然你还可以扩展的超深筹码，情况又不一样了)，一跟注GTO变形最厉害的，范围对抗最无效的，你还是洗洗睡吧。