来点儿纯数学的硬文

在霍老师的概率贴里面我问了一个这样的问题

我来问一个PLO的，AA22r在Th7d3s这个牌面面对对手的range为20%!AA，SPR到多少的时候bet/stack off的ev要小于bet/fold？

解决这个问题首先要做一些基本的假设：

A:  我们的range在对方眼中为AAxx。
B:  对手会根据这个假设做出对他来说正确的决定。

我们来考虑如下两个对方的jamming range：

Range 1: 20%!AA:(T,7,3,89,456)
Range 2: 20%!AA:(TT,77,33,T7,T3,73,89J,896,456)

Range 1是一个很松的范围，任何对，任何超过8个outs的straight draw，这个range对上AA的equity是45%。

既然AA的equity超过50%，那么任何时候bet/fold都是错的。

Board - Th7d3s
          600000 trials (randomized)   
   
          [size=1.2em]All-in Equity
   


Range 2是个比较强的value range，two pair+加wrap，这个range对AA的equity是70%。

        Board - Th7d3s
          600000 trials (randomized)   
   
          [size=1.2em]All-in Equity
   


在不同SPR下stack off所需要的equity如下表所示：

SPR	Stackoff Equtiy
0.3	0.1875
0.5	0.25
0.75	0.3
1	0.333333333
1.5	0.375
2	0.4
3	0.428571429
4	0.444444444
10	0.476190476

这里AA的equity对于他的jamming range只有30% equity, b/f开始make sense，我们需要考虑的是对方jamming的频率，也就是在他的range当中，有多少牌可以value jam。

Count 20%!AA, we got 38492 combos
Count 20%!AA:(TT,77,33,T7,T3,73,89J,896,456), we got 4934 combos

4934/38492 = 12.8%

计算EV(bet/jam)和EV(bet/fold)

EV(bet/jam) vs EV(bet/fold)

pot size = 1
remaining stack = SPR
equity vs jamming range = e
jamming frequency = J
cbet size = b

EV(bet/jam) = EV(allin) + EV(takedown)
                  =EV(allin and win) + EV(allin and lose) + EV(take down)
                  =(spr+1) * e * J - spr* (1-e) * J + (1-J)

EV(bet/fold) = EV(b/f) + EV(takedown)
                   = -bs * J + (1-J)

equity  when jammed on	jammed on  percentage	bet size
0.3	0.128	0.7
spr	EV(bet/jam)	EV(bet/fold)
4	0.7056	0.7824
7	0.552
10	0.3984

equity  when jammed on	jammed on  percentage	bet size
0.3	0.128	0.5
spr	EV(bet/jam)	EV(bet/fold)
4	0.7056	0.808
7	0.552
10	0.3984

目前的结果来看，SPR小于4的时候，对方应该用range 1的牌jam，而我们应该stack off 100%。
在SPR>4的时候，对方的range应该要更窄一些，而我们需要b/f，不过既然我们要b/f很大一部分AA，他的range应该要比range 2宽一些才好，这个动态的平衡我这样的办法是不太容易计算的，貌似可以再去做一个介于range 1与range 2之间的range来算一算。

但这个计算的参考价值是巨大的

恕直言，这样分段式的range假设 不如 直接计算 20% 在不同spr下的 stack off range 比较好，因为生活是连续的不是离散的，对手不可能只照这个策略玩 不然他要被exploit 死 他肯定是根据spr 来对自己stack off 的range 作一个调整吧

riverismyfriend 发表于 2013-4-8 16:36
我可能没说清楚，spr

我看明白了，你是分部进行。
villain jam range 1 = 56% 适用于低SPR
villain jam range 2 = 12% high SPR

Howard 发表于 2013-4-9 04:50
你说的很对。大致就是这样。

窃以为，SPR小于4的时候，villain jam % 应该显著上升，特别是在小于2的时 ...

我可能没说清楚，spr<4的时候villain jam的range是range1,算下来会jam 56%左右。

riverismyfriend 发表于 2013-4-6 07:39
我的算法villain的shoving range不会随着spr而有微调，只能估计两档的range也就是spr > 4和spr  ...

你说的很对。大致就是这样。

窃以为，SPR小于4的时候，villain jam % 应该显著上升，特别是在小于2的时候。我的假设，villain认为hero AA!AAA 然后总是做出+EV的决定，可能过于完美；但你的假设“villain jam 12.8%“ 对低SPR确实也有很大偏差。你着重高SPR的计算是对的。

Howard 发表于 2013-4-6 04:08
计算的很详细，佩服。

最后两个表格我有点看不太懂。每个表格中，前两行貌似是三个条件：

我的算法villain的shoving range不会随着spr而有微调，只能估计两档的range也就是spr > 4和spr <=4的。
spr <= 4的时候因为hero bet/jam的ev 永远大于 b/f的ev就没有算。
而spr >4的时候因为range固定，raise频率固定，所以b/f的ev只有一个变量就是bet size。
这一点可能和用pql算出来会有出入，因为pql可能可以算出在任意spr下villain的optimal shoving range，导致b/f的ev也是随着spr变化而变化的。
我大概理解是这样，还没时间仔细看你的pql的算法，不知道说的对不对。

计算的很详细，佩服。

最后两个表格我有点看不太懂。每个表格中，前两行貌似是三个条件：
(Hero) equity when jamed on: 30%
(Villain) will jam %: 12.8%
(Hero) bet size = 0.5 or 0.7

那么后四行应该是数据部分。怎么第三列还都没填满？

咱两个的计算，大部分相同，也有一些不同点：
1. 你的Hero Equity貌似是“Villain认为的Hero Equity“，也就是说是用AA**计算的。而Hero自己的牌是AA22r。具体会有一点差别，AA22r在这个牌面算是AA××中最差的一部分。两个equity都有用，前者是看Villain的Jam equity，后者是看Hero自己的真实equity。

2. 你假设Villain的决策Jam or fold取决于他的风格，于我们的betsize和spr无关。我的计算中，villain的决策是和这两者相关的，也就是说，他jam EV > fold EV时，他才会jam。因此，在你的计算中，villain可能在SPR=1的时候，弃牌给hero的0.8 pot cbet。这样，hero会显得EV比较高一些，无论是bet/fold还是bet/call（jam）。

这几天有点小忙，来城里都是瞄一眼就跑。周末还好点，抱歉让久等了

超级佩服数学好的人！楼主很厉害，还这么谦虚，叫Howard做霍老师呢。