赢了一锅，损失巨大

昨天见到的一手牌，我没有参与。
1／2NLH，10人桌，不紧不松。
UDG+1是一个小兄弟，打得特别紧，只打特别好的牌，筹码680，加注到20。
一个打酱油的跟。
后面一个大姐筹码800多，加注到40，小兄弟跟，打酱油的跟，其他人全扔。
3人看翻牌，锅里123。
翻牌AQ6彩虹。
过牌到大姐，下注20，小兄弟CR到60，打酱油的扔，大姐再加注到300，小兄弟扔，并且翻出了QQ，大姐得意地翻出AA。
如果大姐慢打，后面翻出Q，就是Biadbeat，大姐可得Jackpot的一半=10k。
真是损失巨大！

Howard 发表于 2013-1-22 21:26
40%的定义貌似简单明确，其实很多种都可以看做有理。

方法一，也是最简单的一种，是单挑，对手纯随机牌， ...

我觉得方法一是可行的。
就是单挑，对手纯随机牌，按照胜率排名，选择前40%。
理由如下：
1）既然是搞研究，模型必须简化
2）不考虑死牌效应，因为大盲在接小盲PUSH时，他不知道小盲的牌
3）不考虑多人锅，因为题目就是HU

如果可行，我计算的两张牌，对其它50张牌的1225种组合，1712304种牌面，得出的数据就可以直接引用。

关于EV：
如果把小盲和大盲不看成死钱。
大盲有位置的优势。小盲只POST0.5个BB，而大盲POST1个BB，从这点看小盲有优势。
随着筹码深度的增加，小盲的优势会逐渐减小。是否有一个平衡点，使他们都没有优势？也值得研究。

40%的定义貌似简单明确，其实很多种都可以看做有理。

方法一，也是最简单的一种，是单挑，对手纯随机牌，按照你对他的胜率排名，选择前40%
这足够简单了，然而这也有点问题。随机牌怎么定义？
比如，你手里是AKo，那么对手牌中含A和含K的那些牌要不要打点折扣？
也就是说，计不计死牌效应？
计与不计，都不合适。计的话，对手就不是纯随机，而是坏牌多一点；不计的话，又不符合现实。
举个更直观的例子，如果对手的范围是top 0.9%，我们可以认为对手的牌包含且仅包含AA和KK。
6手AA，6手KK，共12手。12/1326=0.9%
但是我们一看自己的牌，是AK。这样，对手只有3手AA和3手KK。
6/1225=0.49%
如果我们仍然强行认为他是0.9%，那么就要包含一部分QQ。
如果我们按牌算，认为他就是AA/KK，那么他就不是0.9%而是0.49%

方法二，还是单挑，给定我们的range（按方法一定义），那么对手range的排名按照他的牌对我们的range表现排序。
显然，如果我们只玩AA和AK，那么对手会把65s排到AQo之前。

方法三，是群殴，多人锅，均为随机牌，按对手牌的表现排序。这种方法适用于cash game，因为它兼顾了HU和multiway，给出的排名比方法一更具指导意义。pokerstove就是按照三个随机牌对手进行的排名。pokercruncher我没仔细阅读帮助，但我估计也是这样排名的。

这些软件都有一个拖动条可以指定前x%

方法四，是牛逼大了的最复杂排名。多人锅，每人range都不一样，还兼顾死牌，按照这些所有信息下的排名。这是最现实的，然而不适用于理论研究

老陈 发表于 2013-1-23 07:37
问一下Howard 和dfu二位，40%的Range如何定义？
如果是对随机牌胜率胜率最高的40%，前几天我发了一个帖子， ...

我觉得，两人锅的40%应该就是你以前算过的单挑胜率的前40%。

3人锅可能这个RANGE会有些不同，主动PUSH和被动接的RANGE又会不同。

问一下Howard 和dfu二位，40%的Range如何定义？
如果是对随机牌胜率胜率最高的40%，前几天我发了一个帖子，写的是单挑胜率表，40%的含义就是比J7s好的牌。我就可以写一段程序，进行精确计算，不需要太大计算量，以前我计算过的任意两张牌对其它任意两张牌的胜率数据还保存在我的计算机里，无需重新计算。

有效筹码8BB不变，如果大盲变成25%的牌接盘，小盲应该push 100%。原因：被大盲接盘的风险降低，相比之下偷到盲注的甜头增大。

如果大盲变成75%接盘，小盲仍然该push 100%。原因：大盲虽接盘频繁但战斗力减弱，我军宁跟他拼鱼死网破，也不丢掉先锋部队。


量化风险、量化回报，然后看谁大。

相信dfu兄得出的77%的结论。也就是说，如果你确定大盲会用前40%的牌接盘，有效筹码8BB，作为小盲，你应该用77%的牌去推。（假设只是在推和fold之间作比较，不考虑call或者raise 3bb等）

这个77%在我第30楼的图中也能看出来，虽然那个图的计算结果是不可取的，但是图中的绿色曲线的极值点是有意义的，它恰好落在77%左右。

这说明什么问题呢？

作为小盲，如果我们用前76%的牌push，那么我们亏了，因为前77%的牌push EV更大。

这是因为第76%～77%之间的那一两手牌，也是push好过fold的。

但如果我们用前78%的牌push，EV就出现下降。这是因为第77%～78%之间的那一两手牌，push不如fold。

所以小盲的正确决策就是推前77%的牌，以克制大盲的40%接盘。

讨论很有意思，但这小孩打得也实在太猥琐了，有时候按四川人的说法是，该雄起的时候就得雄起，弄死当睡着。尤其是打现金，你不能打得太猥琐，太chicken. 这牌，反正我是fold不掉了。

示强，这名女性不是为了盈利，只是为了那种压制的盛气能凌人的感觉

PUSH RANGE是个平均化的概念，对实战的指导意义有限，先回到实战中去计算具体一手牌的EV。

当我们拿到一手牌，对方40%会接我们的ALLIN，那么什么样的牌我们可以PUSH，公式如下，其实就是火花的公式：

            EV = 60%*1.5 +40%（W*16-7.5），令EV > 0
                   解得： W > 32.8%

57对这个RANGE是35.15%，TJS是45.53% ，A2是46.36%，这种情况下，显然A2是优过TJS的。我不知道有多少手牌是超过 32.8%，把这个统计出来大约就是可以PUSH的RANGE。

如果把40%改成25%，则要求 W > 3/16=18.75%

27O对这25%的RANGE主动全下是有CEV优势的，就是说几乎100%的RANGE推牌都是+EV，当对手打的过于紧的时候，有效筹码又比较短的前提下，主动推的优势似乎比较大。40%还不行，对方40%RANGE我方还有不少牌主动推是-EV比如27O

计算的过程中发现一个有趣的事实，当对方只用10%的RANGE接的时候，TJS的胜率才会超过A2。RICH真是实战型的高手，每一个经验和细节都是优势。也可以说对付紧手，TSJS的机会更大，对付松手，A2更有优势。

实战中，哪个RANGE的全下对40%（或25%）是最佳的？如果用穷举法会有个精确的结论，如果用回成本法的公式会有个大致的估算。我大致算一下，回头补充在这贴里。

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下面的计算结果有点惊讶，PUSH EV并不是随 RANGE 单调上升或者下降，总的来说是两头小中间大。最佳位置是77%RANGE这个位置。

我感觉实战中所有A2-A8,k3-k8,Q8,9T+,22+都能推这个，对RANGE40%的胜率都在40%(远超32.8%安全点)附近或以上。我感觉这560手牌推即42%以上的牌推对方40% RANGE的时候比较安全（CEV都是正的）。

有趣的是，当我把另外460手左右的牌（即大于33%，j2O不够33%，要和J2S区别出来，不要和前面558手牌重合）也就是大约1020手牌算进去的时候，刚好是77%附近。

按火花兄27O的计算方法，低于32.8%胜率的手牌全部非同花{J2-J3，T2-T5,92-95,82-84,72-74,62-63，52-53,42-43,23}这里共23*12手+4手72S=280手牌，这里已经是21.1%的RANGE，这个RANGE的牌不能ALL，剩下79.9%可ALL，考虑到一些33%胜率附近的手牌+EV很小，那么77%基本是可信的最大EV的RANGE。

殊途同归啊。

采用成本法，用公式EV=1.1X-0.5+0.4X(W*16-8)得到的最大值也是77%附近。

很有趣的计算。低于这个值77%，丢失了对方弃牌率的价值，高于这个值，由于摊牌胜率下降（有些牌出现-EV），把整体EV降下来，但还是+EV，直到用98%的牌推时，-EV的牌总和超过了+EV的总和，最终变成微弱的-EV。这个计算做下来对牌力的理解有点好处。



X        W(X, 0.4)        Push EV
1%        81.50%        -0.46884
2%        76.40%        -0.444208
3%        71.60%        -0.425528
4%        69.60%        -0.405824
5%        68.30%        -0.38644
6%        67.00%        -0.36872
7%        65.30%        -0.354456
8%        64.10%        -0.339808
9%        63.10%        -0.325544
10%        62.50%        -0.31
11%        61.80%        -0.295928
12%        60.60%        -0.286592
13%        60.30%        -0.271304
14%        59.40%        -0.261776
15%        58.70%        -0.25148
16%        58.10%        -0.241056
17%        57.30%        -0.233576
18%        57.10%        -0.220208
19%        56.70%        -0.209528
20%        55.80%        -0.20576
21%        55.70%        -0.192392
22%        55.50%        -0.18056
23%        55.00%        -0.1734
24%        54.60%        -0.165344
25%        54.30%        -0.1562
26%        54.20%        -0.144112
27%        53.50%        -0.14252
28%        52.90%        -0.140032
29%        52.80%        -0.129032
30%        52.40%        -0.12392
31%        52.20%        -0.115352
32%        51.90%        -0.109088
33%        51.70%        -0.101096
34%        51.50%        -0.09336
35%        51.20%        -0.08812
36%        50.80%        -0.085568
37%        50.80%        -0.074056
38%        50.50%        -0.06984
39%        50.40%        -0.061016
40%        50.00%        -0.06
41%        49.70%        -0.056872
42%        49.40%        -0.054128
43%        49.40%        -0.043512
44%        49.00%        -0.04416
45%        48.80%        -0.03956
46%        48.60%        -0.035216
47%        48.40%        -0.031128
48%        48.10%        -0.030368
49%        48.00%        -0.02372
50%        47.80%        -0.0204
51%        47.60%        -0.017336
52%        47.40%        -0.014528
53%        47.10%        -0.015368
54%        47.00%        -0.00968
55%        46.70%        -0.01116
56%        46.50%        -0.00944
57%        46.40%        -0.004328
58%        46.30%        0.000656
59%        46.10%        0.001736
60%        45.80%        -0.00128
61%        45.60%        -0.000776
62%        45.50%        0.00344
63%        45.30%        0.003496
64%        45.20%        0.007392
65%        45.00%        0.007
66%        44.80%        0.006352
67%        44.70%        0.009736
68%        44.50%        0.00864
69%        44.40%        0.011704
70%        44.30%        0.01464
71%        44.10%        0.012904
72%        44.00%        0.01552
73%        43.80%        0.013336
74%        43.70%        0.015632
75%        43.60%        0.0178
76%        43.50%        0.01984
77%        43.40%        0.021752
78%        43.20%        0.018544
79%        43.00%        0.01508
80%        42.90%        0.01648
81%        42.70%        0.012568
82%        42.60%        0.013648
83%        42.50%        0.0146
84%        42.40%        0.015424
85%        42.30%        0.01612
86%        42.20%        0.016688
87%        42.00%        0.01156
88%        41.90%        0.011808
89%        41.80%        0.011928
90%        41.70%        0.01192
91%        41.50%        0.00596
92%        41.40%        0.005632
93%        41.30%        0.005176
94%        41.20%        0.004592
95%        41.10%        0.00388
96%        41.00%        0.00304
97%        40.90%        0.002072
98%        40.70%        -0.005296
99%        40.60%        -0.006584
100%        40.50%        -0.008

Howard 发表于 2013-1-20 12:27
使用Pokerstove计算了下，先把计算结果贴出来，这计算方法其实不对，所以计算结果不能起到指导作用。下贴再 ...

同意后面的结论，这个主题还是有再深入的价值，比赛里变成小筹码的情况非常的多，经常要面对这样的情况：针对对手RANGE以及自己手上的牌力是否要推？

1） 说一下我对计算的理解：

具体到一手牌，有效筹码8BB（包含了大盲已经下的1BB），小盲下0.5BB，大盲下1BB。当小盲对大盲的胜率是W的时候。

采用死钱法计算小盲全下EV：
            
             弃牌EV = 0
                     全下EV = 8.5W-(1-W)*7.5
                                = 16W -7.5
                     
                     即要求 16W-7.5 >0

采用成本法计算小盲全下EV：
   
             弃牌EV = -0.5
                     全下EV = 8W-(1-W)8=16W-8， 令全下EV > 弃牌EV，
             则 16W-8 > -0.5

                     即要求 16W-7.5 > 0

从上面的公式可以看出，就一手牌的EV计算来看(一手牌不需要考虑权重)，死钱法和成本法的计算结果完全等价。后面火花兄计算的27O对40%的RANGE采用死钱法和成本法也完全等价。

但是就这个题目来说，弃牌的权重和全下的权重不一样，弃牌的权重是（1-X），全下的权重是X，还有对方放弃的 X(1-0.4)，这样死钱法和成本法的公式会不等价。

采用成本法的公式是：

             EV=(1-0.4)x - (1-x)/2 + X *0.4*[ W(X,0.4)*（N+0.5）-(1-W(X,0.4)) * (N+0.5) ]， 令N=7.5
                        
                         = 1.1X-0.5+0.4X*(W(X,0.4)*16 - 8)

（这里的N相当于火花兄定义的有效筹码里的7.5，这个问题不大,27楼定义的N是下盲注后的有效筹码，27楼公式要小调整下：小盲PUSH大盲CALL 的 总 EV=X *0.4*[ W(X,0.4)*（N+0.5）{这里原来是N+1，应该改为N+0.5}-(1-W(X,0.4)) * (N+0.5) ]   ，）

举个具体的例子可能好理解些：

比如小盲只用AA和KK全下（假如AA,KK是100%的胜率），比如这样的牌局打1326手，有12把可以获得 8*12即96个BB（算小盲100%胜率吧，实际只有82%） ，即最多也就100个盲注的收益。

但是另外1300手牌要损失 650个BB 。
相比之下，1300多手牌要损失550个BB，算下来应该是比 - 0.4BB更小的EV，

如果用上面那个公式计算，则 EV大约是  -0.47 BB。

当筹码很短位置在小盲的时候，只用AA,KK全下，会因为丢失大量的盲注从而是-EV的打法，这也说明了绝对紧不适用所有的筹码量。

2） 这个题目里的PUSH RANGE如何确定？

在实际打牌中，如果对方接ALLIN的RANGE是40%，那么我方有哪些牌可以PUSH，哪些牌得放弃？正如火花说的，27O是一定要放弃的。简单算就知道是负EV，这里我用成本法再算一次：

令W=29.2%,   弃牌 27O的EV = -0.5BB

                     相较弃牌EV的 全下 的EV = 60%*1+40%（W*16-8) -（-0.5）（即弃牌EV）=火花死钱法的EV
                    最后这两者完全等价。（我感觉成本法的EV计算应用范畴似乎更广一点。）

实际打牌中，每一手牌是已知的，只需要确定对40%RANGE最小EV的那手牌即可，然后这手牌以上牌力的RANGE都可以推。那么这手牌以上牌力的RANGE有多大？这个RANGE可能是真正有实战指导价值的。

解题思路是否可以这样，按火花27O的计算方式找出所有对40% RANGE的全下是+EV的手牌，这个RANGE就是最安全的PUSH RANGE。