计算题

德州扑克
1、有效筹码500
2、俩人单挑
3、无死钱
4、甲是大对，乙是小对，互相都知道，具体什么对不知道
5、甲翻牌前加注到R，如果乙跟，甲在翻牌后全进
6、乙在翻牌中暗三就跟，不中就扔
7、不考虑顺子和同花的因素

如果R太小，打多了甲就要输钱
如果R太大，乙就不能跟，跟多了会输钱

问R是多大时，双方都能接受？

补充：适当简化，不考虑中四条和公共牌出大三条，小对中三条也输的情况，这对计算结果影响不大。

Howard 发表于 2012-11-29 01:13
dfu咱两个这个不叫错，至少是思路没错，只是比竹林和老陈更加不拘小节随意放纵一点，呵呵为你我开脱一下。 ...

个人觉得，这确实是个很好的计算题。类似甲这样的打法并不少见，比如甲筹码短了或者打毛了，翻前拿到QQ,JJ基本就拼命了。纠正了我的计算错误（公式错那是真正的错啊。）

从老陈的题目延伸出去，我最想计算的是AK对岩石的打法，尤其当岩石（或者类似岩石的行为）做3BET的时候，AK需要多少的跟注量才跟的动？一般岩石的打法打到3BET后基本都会全下。计算方法和老陈竹林的一样，问题简化如下：

1. 岩石甲大对子对乙做3BET。岩石甲的RANGE{TT+},不包含AK。6/8是{TT-QQ}，2/8是{AA-KK}
2. 乙拿AK，FLOP中A或者K和甲打到全下，否则弃牌。
3. 死钱是D，包含1.5BB盲注以及乙的开注量。
4. 其他条件同老陈的题目。

这里主要讨论3BET，如果翻前能不3BET用更低的成本看岩石的牌更好。下表是我的计算，B1是当甲AA的时候乙在FLOP中A或者K的概率，B2是当甲KK的时候乙在FLOP中K的概率，B3是当甲AA的时候乙在FLOP中A的概率。虽然计算方法采用了老陈竹林的方法，但结果的准确性实在不敢担保，后面的表是用EXCEL做的，一个答案对就都是对的，一个错全错。
（下面这个考虑不周，乙中了AK，甲还有3条的机会，我再调整下，要花点时间）

82%是FLOP乙中牌而甲不中打到河牌乙的胜率（工具算的大概值），91.24%是甲中了乙也中时候甲打到河牌的胜率

整个公式：6/8 *[(1-A)*B*(C+D)*82%-(1-A)*B*C*18%-AB(C*91.24%-(c+d)*8.76%)]-1/8 *[B1C+B2C-B3(C+D)]=R*[6/8*(1-B)+1/8 * (3-B1-B2-B3)]



计算是从乙的角度做EV计算的，因为有死钱的存在，所以乙的平衡点和甲的平衡点会不一样，甲是下注平衡点，乙是跟注平衡点，只要跟注量少于平衡点，对乙就是划算的。

A        B          B1（AA）        B2(KKK)        B3(KKA)        C        D        盲注        乙跟注平衡点R       
0.1646  0.3362     0.2342        0.0625        0.1223        485        22        5        51.70768006
       
0.1646  0.3362     0.2342        0.0625        0.1223        470        37        5        53.7720075
       
0.1646  0.3362     0.2342        0.0625        0.1223        460        47        5        55.14822579



初始有效筹码100BB，2/5的盲注
第一行乙做3BB（15）加注，跟注平衡点（即甲再加注后乙需要额外跟进的筹码）是51.7大约10.34BB，就是说低于这个数，跟注对付甲这样的选手采用不中就弃的打法是OK的，也即甲需要下注13.34BB才能让乙的打法吃亏，即4.37倍乙的下注额。

第二行乙做6BB加注，平衡点在10.75BB，甲的加注额要16.75BB才能让乙这种打法跟不动。即2.79倍多乙的下注额。

第三行乙做8BB加注，平衡点在11.03BB,甲的加注额要19BB，即2.38倍乙左右的下注额。


计算结果刚做了比较大的修正，不保证没有其他错误。惭愧，总是漏东西前面的计算出错，现在的也不保证正确。拿错误的数据指导实战就麻烦了

从表中看，乙持有AK没有位置的初始下注额在对付甲这样的选手时（甲可能3BET的情况下），下注小一些比大一些好。

实战中充满了诈唬注价值注甚至疯狂注，上面的数据和思路（都未必正确）仅做大致参考，慎用。

老陈这个计算其实简化了类似岩石这样的打法特征，还有其它类型的玩家，比如疯狂型的，跟注站型的，简化他们的一点点特征，然后数学化，再反过来指导实战，或许会更有启发。

很多时候的EV计算偏向于摊牌赢率的计算，但是对于对方弃牌赢率的计算很少见，比如紧弱玩家的弃牌率就比较高，令其弃牌率为一个参数（要有一些条件约束），紧弱一般不中就弃，中小对子不中SET也弃，然后拿同花连子或者AX连子在后位进局，计算下注量，筹码量等等，把弃牌盈率考虑进去，这样基本就覆盖了很多实战中的牌例，这个计算量太大太复杂。（个人猜测，把人的基本特点的分析做了，再把这些特点灵活组合就可以变成紧凶和松凶的策略。）       

dfu咱两个这个不叫错，至少是思路没错，只是比竹林和老陈更加不拘小节随意放纵一点，呵呵为你我开脱一下。

Howard 发表于 2012-11-28 22:05
楼上dfu的帖子必须要赞，想得很深入。

但且慢，一向心细的老陈和竹林组合怎么会犯把三条概率弄错这样的计 ...

老陈一向严密，我一向出错，汗。老陈的帖子我一般都会想很多，都是实战中出来的精华啊。前几天就算了，大致是55附近吧，没特别想，看到竹林的结果，和我的相差这么大，再算，还是我错。

惭愧，确实如火花所说，我想漏了，老陈和竹林的计算也非常的好，简洁干净。A=1-C(45，4)/C(47，4)=1-43*42/47*46.

我用了笨办法验证，令FLOP乙中3条时，FLOP甲中3条几率是A1，FLOP甲不中后两条街中的是A2，则A=A1+A2-A1*A2. 这样算出来两者的结果是一致的。

把这个题再变一下，假如有1.5BB的死钱，有效筹码是50BB时候，我算的R=3.14BB，当有效筹码是100BB时候，R=7.8BB。不保证结果的正确，我私下会再检查下，不校验了，这种打法就是筹码越短越隐蔽，越深越不划算，老陈这题的好处是咱们可以看到大对子打多少对付小对子3条是划算的。

谢谢火花的指正。

Howard 发表于 2012-11-28 22:05
楼上dfu的帖子必须要赞，想得很深入。

但且慢，一向心细的老陈和竹林组合怎么会犯把三条概率弄错这样的计 ...

这题出的好啊！dfu的分析也真精彩!
＄１０的盲注，５０BB （＄５００）的短筹码，看得我一身鸡皮疙瘩 。

楼上dfu的帖子必须要赞，想得很深入。

但且慢，一向心细的老陈和竹林组合怎么会犯把三条概率弄错这样的计算错误。dfu的理解，跟我前几天的想法完全一致，经过我跟老陈的沟通，老陈指出我的疏漏。

A并不是 “乙翻牌中暗三时甲也翻牌中暗三的概率”，而是“乙翻牌中暗三时甲到河底中暗三的概率”。

根据老陈的原贴，甲翻牌无条件全进，无论中不中暗三。而竹林的回帖准确地理解了这一点，把A定位为甲河底暗三。其严密细致，令人称奇。

dfu和我则秉承思维惯例，一上来就默认甲也翻牌暗三，因此忽略了甲可以等到转牌和河牌再中的机会。

dfu指出翻牌乙四条甲三条甲仍然多半要输，从数学角度讲是完全必要的。从实用角度，这样的概率是C(2,2)*C(2,1)/C(48,3)=0.012% 小到可以忽略

dfu分割线后一部分的评价是真知灼见。理论+实用。岩石 vs set farmer。对我最大的意义就是，对付岩石，特别是cbet很大的岩石，千万别用小同花连，要用小对子。虽然小同花连对付大对子的odds大概是23：77，好于小对子的18：82，但翻牌后equity容易集中在30%左右的区间，非常不易操作。而小对子翻牌后基本分化为5%阵营和95%阵营，这种特性乃是对付岩石的最佳武器。对于见了小同花连不肯放手的我老人家，需要每次提醒自己一下才可以。

竹林居士 发表于 2012-11-27 01:55
我来算一下。
根据题意，甲乙双方EV都是零，都可以接受。
设：

我的计算方法也是EV1+EV2+EV3=0，

B的结果和竹林的完全一致，但A的结果不一样。

B的计算公式：
      
             B=1-C(46，3)/C(48，3)=1-45*44/48*47，这个结果实际上包含了乙中4条的情况。

    或者     B={C(2,1)*C(46,2)+C(2,2)*C(46,1)}/C(48,3)=(46*45+46)/(48*47*46/6)=6*46*46/48*47*46=46*6/48*47,

                    
                  这两种计算方法结果是完全等价的，没有一点差别，其中 {C(2,1)*C(46,2)+C(2,2)*C(46,1)} 即 FLOP乙中3或4条的所有组合数量。


A的计算公式：
         
            A = 1- {C(2，1)*C(44，2)+C(44，1)} /{C(2,1)*C(46,2)+C(46,1)} =1-44*44/46*46

            A ={ C(2,1)*(C(2,1)*C(44,1)+1)+C(2,1)*1}/{C(2,1)*C(46,2)+C(46,1)} =(2*2*44+2+2)/46*46=45*4/46*46

                两种计算方法也是完全等价的。

A也可以粗算，即不考虑FLOP乙中4条的情况，

A=1-C(2，1)*C(44，2)/C(2，1)*C(46，2)=1-44*43/45*46. 结果和上面的也差不多。

带入R公式，结果大约是57.8.有一种情况要考虑，当FLOP乙中4条时，即便甲中3条甲大多还是输，因此实际的数字要比57.8低一点。如果要精确计算，则要把乙FLOP中3条和中4条分别计算，就分的更细了，结果可能大致都差不多。

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个人理解，这个题目是从实战中精简出来的，实战指导意义很强，甲实质上就是岩石型小筹码的打法，等大家伙，一旦等到怎么都会打到ALLIN，稍微好点的，没位置的时候拿AK不中A或者K能放弃，多数一旦进了FLOP，就准备打出全部的筹码。岩石翻前弱翻后凶，可偷盲。对付甲的手法最好就是乙的打法。当然实战中非常灵活，但起码对付甲这种对手给出了大致的指导方向。

以这个计算为例，如果大盲注是10刀，甲等于是50BB的有效筹码，那么甲下注低于50刀即低于5BB（假定前面57.8的数字是合理的）就不划算，太高了比如80刀对方不跟也不划算，只赚1.5BB。毕竟类似大对子99+总共才36个组合，占36/1326=2.7%，37把牌来一次，4圈如果都被人偷盲而自己不偷盲的话差不多输60刀，而岩石来了牌下的注大没人跟，下的小有被乙这样的对手以SET吃掉全部筹码的危险（长期这么打EV不划算）。

岩石的打法过于透明，翻前偷他的盲划算，如果他自己不偷盲的话，岩石甲这种打法和乙这样的人打长期来看其实是负EV。不过实战中的所有打法都会有变化，比如岩石未必每把牌都打到全进，但总体上看甲的特点和实战中的小筹码岩石非常像。

如果不是小筹码而是100BB的筹码，甲的打法就非常的不划算，按题目的计算（假如57.8是正确的）甲需要10BB以上的开叫才划算。乙的打法有点像紧凶针对岩石的打法，从起手牌看，连子这种需要几条街才成牌的不适合对付甲，从打法看，CBET也不合适，这种打法就是小对子博不中就弃的打法。

不知道我上述这些理解是否正确。

个人感觉，最能提高对德州扑克的理解就是这些看似简单的题目，把实战中的牌例抽象出来然后以数学的方式提出问题最终指导实战，这其实是非常不容易的事。

shisfc0603 发表于 2012-11-26 20:01
明确题干后，重新计算。牌堆数目是48张，
小对子翻牌三条几率是2/48+(46/48)*(2/47)+(46/48)*(45/47)*(2/46 ...

计算有一些误差。I
在小对没中三条时，大对不需要中三条。
在小对中了三条时，大对中三条的概率降低了,已知小对中了，牌少了一张，机会也少了一次，再考虑一下这个因素。

明确题干后，重新计算。牌堆数目是48张，
小对子翻牌三条几率是2/48+(46/48)*(2/47)+(46/48)*(45/47)*(2/46)=12.234%.
大对子五张里面出三条的几率需加上(46/48)*(45/47)*(44/46)*(2/45)+(46/48)*(45/47)*(44/46)*(43/45)*(2/44)=7.713%,加起来等于19.947%，
那么小对子胜率只剩12.234%*(1-19.947%)=9.794%,相应得出结果为48.97

原来老陈说的大三条是这个意思，我以为是说JJ对KK出来K的情况不考虑呢