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本帖最后由 Jimihandrix 于 2016-12-15 15:36 编辑
信封悖论。以下转自知乎:
注意概率密度只要f(x)=f(2x)就行,不用是均匀分布。
第一步就是错的。信封放的钱是个随机变量(我们假设这个变量是连续型随机变量),我们要考虑其概率密度。比如你打开第一个信封看到了100块,你还假设另一个信封有50%概率有50块,50%概率有200块。那么你就假设了,(50,100)的组合和(100,200)的组合有相同的概率(概率密度)。所以钱少的那个信封包含钱数(以下记作M)的概率密度f(x)满足f(x)=f(2x).假设1<M<2的概率是P,那么2<M<4的概率就是2P(这个概率就是f(x)在2到4上积分),4<M<8的概率是4P。如此一来,1/2^n<M<2^n的概率就是(2^n-1/2^n)P. 如果P大于0,那么当n足够大的时候,这个概率大于1,矛盾。所以P是0。进一步根据概率的连续性(其实就是可列可加性),因为1/2^n<M<2^n的概率是0,令n趋于无穷,得到M>0的概率为0. 所以说,唯一的可能就是两个信封都没钱。
离散变量也是一样的道理,如果钱少的信封以正概率P为某个值x,那么也要以相同的概率P取2x,4x,8x,16x...于是总概率大于一,矛盾。
奇异型随机变量不太好描述这个问题。
要不然,就是前面加粗的假设错了,打开一个信封看到100块,不能说明另一个信封各有50%的概率有50块和200块。
其实好多所谓概率悖论都是样本空间和概率分布没想清楚。
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概率有可列可加性,可列个不交集合A_i的并的概率等于概率的和的极限。. 所以可数无穷集(比如自然数集)和无穷区间(比如正实数集)上都没有均匀分布。
假设自然数集上有均匀分布,设每个自然数的概率都是P。如果P大于零,那么取[1/P]+1个自然数,它们的概率之和大于1,矛盾。于是P=0。此时,所有自然数的概率是每个的概率的和,还是0,矛盾。
正实数集同理,设(0,1]的概率是P,如果P>0,总概率大于1;如果P=0,总概率为0,都是矛盾。
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