Random Walk

今天帮一个朋友计算点东西，还没算出来，但是学到了一点新知识

先拿非人类语言来说：random walk with a boundary of -a and b. the expected steps is ab to reach either boundary.

半人类语言：随机漫步，往东a步跟往西b步，无论到那一个都停止，则预期步数为ab。

人类语言：假设赌场有一种不抽水的赌大小，我们去玩，每次押1元，输a元，或者赢b元就跑。则我们预期玩的把数为ab，输a元的概率为b/(a+b), 赢b元的概率为a/(a+b)

比如输1元或者赢1元就跑，那么预期把数为1。（这不废话吗）
输1元或者赢5元就跑，预期打5吧。
输1赢100，预期打100吧。（当然，大部分都远远小于100把，但有少部分非常非常大。99.01%的情况都以输一把结束。只有不到1%能赢100）
输100或者赢100，预期要打1万把。

为什么是-a

random walk 也不可能不是东就是西啊 my silly question

taiji18 发表于 2015-12-31 16:13
random walk 也不可能不是东就是西啊 my silly question

一维不懂二维的世界。

bomb 发表于 2015-12-31 17:13
一维不懂二维的世界。

谁是二维，你？

taiji18 发表于 2015-12-31 02:13
random walk 也不可能不是东就是西啊 my silly question

用-a是为了保证a是正数，后面说起来方便。
东、西走是因为这里只研究一维的random walk

考虑这个赌大小。我们每次下注1，有p的概率赢1，有q=1-p的概率输1。

m，n均为正整数。
令f(m)表示我们能赢到m个单位的概率。（只要到了就算。无论怎么赢得，可以一路赢上来，也可以赢了m+1又输1。）

则有f(m+1) = f(m) * f(1)

这意思就是说，我们（在某时间点）赢了m+1的概率，可以从我们赢了m（在之前的某时间）的概率算起，再赢一个。

一直递推下去，就会得到：
f(m) = f(1) ^m

关键在于怎么得到f（1）
这个问题早有阐述，陈爷之前的帖子有记载。这里再推导一下。

从0开始，我们有p的概率第一步就赢到1，也可以有q的概率赢到-1。
因此f(1) = p+q*f(2)
又因为f(2) = f(1) ^2
所以 f(1) = p + q*f(1)^2
这是个关于f(1)的二元一次方程，解得：
f(1) = [1 ± (1-2p)] / 2(1-p)

当p<1/2时，取负号，得到f(1) = p/q
当p>1/2时，取正号，得到f(1) = 1


所以当p<1/2时我们能赢到m的概率是(p/q)^m
p>1/2时我们能赢到m的概率是1，一定能赢到。

接上贴。

上面光考虑了能不能赢到，不计其过程，言下之意，我们和庄家的bankroll都是无穷多，咸鱼总能翻身。
但现实是我们br有限，所以必须要考虑一类新的问题：
在输到-n之前就赢到m的概率是多大？
m、n均为正整数。

g(m,n) 定义为 在我们输掉-n之前就赢到+m的概率。
也可以用random walk的语言来说：以p的概率走+1步，以q的概率走-1步，g(m,n)代表在达到-n之前先到达+m

根据上贴的f (m) 的概念（到达m就算，无论经过还是没经过-n）
到达m的路可分两类。一类是没经过-n，第二类是经过了。
没经过-n，那就是g(m,n)
经过-n，那就还得从-n到m，也就是f(m+n)

f(m) = g(m,n) + [1-g(m,n)] * f(m+n)

上贴已经知道f(m) = f(1) 的m次方，所以

f(1)^m = g(m,n) + [1- g(m,n)] * f(1)^(m+n)

当p>1/2，坏事儿了，上式等于
1 = g(m,n) + [1-g(m,n)]
0=0
这个解法就废了

好在p<1/2时可以解出来

                (p/q)^m - (p/q)^(m+n)
g(m,n) = ------------------------------------------------
                 1 - (p/q)^(m+n)


举例：某人赌大小，每次下注1，丫有40%的可能性猜对，总资金10。问丫赢到18的概率多大？
p = 40%
q=60%
m=8 （从10到18，需要赢8）
n=10 （10输光）

直接套公式：
g(m,n) = g(8,10) = (0.667^8 - 0.667^18) / (1 - 0.667^18) = 3.85%

几率实在不高

那位说了，p>1/2无解，咋办。其实也好办。咱就反过来，p做q，q做p，同时m和n也反一下，不就行了吗。

继续

上贴说道，p>1/2咋办。比如一个人猜对的能力高达60%，他带bankroll 3块钱去赌大小，每次下1。庄家金钱无限。问：他把庄家赢光（或者无休止玩下去）的概率多大？

这里p = 0.6，g(m,n)的公式不能直接用。

可以从庄家的角度去看。这问题等价于庄家（p=0.4）在输光之前不能赢到3块钱的概率，也就是说在赢到3块钱之前就输光的概率，或者说，1 - （输光之前赢到3块钱的概率）
p = 0.4
q = 0.6
m = 3
n = 无穷

  g(3,无穷 ） =  （0.667^3 - 0.667^无穷） / （1 - 0.667^无穷） = 0.667^3 = 29.7%

这是庄家先赢到3的概率，也就是玩家破产的概率

那么，玩家有70.1%的把握，靠这3块钱就可以把庄家赢光

回头看，头大