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想了个概率题目,有兴趣的来看看

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1#
notch 发表于 2013-2-8 13:58:09 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
每个盒子里或者是空的,或者是有一枚金币
将10个盒子作为一组,一共有10组盒子
每组盒子的金币总数不同,最少0枚,最多9枚
游戏规则:
你可以开任一组盒子中的任一个,看到是否有金币,如果有金币,你可以拿走。
接下来你可以选择把这一组全打开,拿走所有的金币,然后游戏结束
或者选择去开下一组盒子中的某一个,继续选择是否打开新的一组
一旦决定打开一组盒子,游戏结束
否则一直继续下去,直到没有盒子
问:有没有什么策略可以让得到的金币概率上最多
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2#
Howard 发表于 2013-2-9 01:33:38 | 只看该作者
游戏规则好像少说了一句话。

按题设,就一直开单个盒子就可以了,一直从#1开到#100,取走所有金币

可能是这样一句话:“一旦开了某组内的任一盒子,又不选择全部打开该组,则该组其他盒子不允许再打开”

另外盒子里面或者空的,或者有1枚金币,空的跟有金币的盒子是50% vs 50%的概率吗?还是不清楚
3#
maomaobiao 发表于 2013-2-9 14:14:50 | 只看该作者
本帖最后由 maomaobiao 于 2013-2-9 17:24 编辑
Howard 发表于 2013-2-9 03:33
游戏规则好像少说了一句话。

按题设,就一直开单个盒子就可以了,一直从#1开到#100,取走所有金币


回答你最后一个问题,应该是这么理解:

在总共有 0 枚金币的那十个盒子,有金币的概率全部 = 0%

在总共有 1 枚金币的那十个盒子,有金币的概率平均值 = 10%

在总共有 2 枚金币的那十个盒子,有金币的概率平均值 = 20%

......

在总共有 9 枚金币的那十个盒子,有金币的概率平均值 = 90%

------------------------------

1. 在第一次任意打开某一组盒子中的某一个,得到金币的概率是 (0+0.1+0.2+... +0.9)/10 = 45% (也就是总共45枚金币分布在100个盒子里)

  1.1 当打开第一个盒子为空,游戏结束,金币的期望 = 55%*0 = 0
  1.2 当打开第一个盒子为金币,可以
     1.2.1 打开这一组的10个盒子,游戏结束,金币的期望 = 45% * (1*0.1 + 2*0.1 + 3*0.1 +... 9*0.1)= 2.02
     1.2.2 打开另一组的某个盒子,进入2.
   在第一步结束游戏的金币期望值为2.02

2.这里需要计算一下概率,如果简化地认为45枚金币平均低分布在100个盒子,则剩下90个盒子里平均分布了45-4.5 = 40.5个金币,第二步打开金币的概率 = 40.5/90 = 45%,不变。

  2.1 当打开第二个盒子为空,游戏结束,金币的期望 = 0
  2.2 当打开第二个盒子为金币,可以
      2.2.1 打开这一组的10个盒子,游戏结束,金币的期望 = 2.02

如果以上的计算正确,那么在任何一步的金币期望都是2.02。等等,但是45枚金币并非平均分布在100个盒子里,在第一打开金币之后,十个盒子全部为空的权重上升,也就是说,在第二步打开金币的概率是略低于45%的。或者这么理解,已经有一枚金币被用掉了,所以,第二步打开金币的概率 = (45 - 1 - 0.45*9)/ 90  =44.39%。

于是乎,第二次打开那一组盒子结束游戏的金币期望实际上要低于2.02。
依次类推,在第一次打开是金币的时候,就果断打开这一组盒子,应该是最优策略。

粗略想的结果是这样,有待推敲。
4#
maomaobiao 发表于 2013-2-9 14:26:43 | 只看该作者
我好像忽略了,可以拿走已到手的金币这个条件
5#
天使也无奈 发表于 2013-2-9 18:16:21 | 只看该作者
那么复杂的
6#
maomaobiao 发表于 2013-2-10 08:05:19 | 只看该作者
简化一个条件:

当打开一个盒子发现金币之后,如果选择打开这一组余下的所有盒子,则

1/9 可能 0 more
1/9  1 more
1/9  2 more
...
  1/9 9 more

所以,在这个相对独立的事件中,只要发现金币,并且打开余下的盒子,就可以默认得到了 5 个金币。

------------------------------------

策略 1 : 在打开第一个盒子,发现是金币时就打开余下的盒子,终止游戏。

   55% 什么也得不到
   45%   得到5个金币
  total EV  = 5*45% = 2.25

策略 2: 在打开第二个盒子,发现是金币时就打开余下的盒子,终止游戏。

   55%   什么也得不到
   45% 得到一个金币之后,又有55.56%什么也得不到
   45% 得到一个金币之后,又有44.44%再得到5枚金币
      total EV = 45% * (1 + 5 * 44.44%) = 1.44

.....

最优策略就是,第一次打开盒子就中止游戏。
7#
 楼主| notch 发表于 2013-2-13 17:07:05 | 只看该作者
可能题目里头有歧义
如果开出来的箱子里头没有金币
你仍然可以选择是否开这一组箱子
或者放弃这一组箱子
选择开下一组箱子中的一个
8#
maomaobiao 发表于 2013-2-14 08:32:20 | 只看该作者
本帖最后由 maomaobiao 于 2013-2-14 10:34 编辑
notch 发表于 2013-2-13 19:07
可能题目里头有歧义
如果开出来的箱子里头没有金币
你仍然可以选择是否开这一组箱子


就是说不管开没开出来金币,都可以选择

1. 打开这一组盒子
2. 打开另外一组(没有被开过的盒子)。

一直开最多有10次机会,第十次不论结果如何,只能打开眼下这一组的盒子。是这个意思吧?

-------------------------------

极端的情况,开10次,得到9个金币,或者0个;从平均的期望看45个金币分布在100个盒子里,开10次可以得到 4.5个金币。

而我们也知道,不管如何同一组的10个盒子,可以默认为里面有4.5个;但是,一旦打开其中一个发现有金币,则这10个盒子则应该默认为有5个金币。

------------------------------------

继续极端的情况,最大收益是,开10次,得到9个金币,然后最后一组开出额外8个,总共17个金币;或者,开10次得到0个金币,然后最后一组什么也没有,总共0。算术平均是8.5个,但是从概率的平均分布看,我们应该得到4.5+4.5 = 9个金币。

所以,估计一下,最优解因该是一直开,直到开出5个金币(或者开10个得到小于5个金币),然后在开出第5个的时候打开那一组的盒子,得到5+4 = 9个金币。具体的计算回头再弄吧,太麻烦了。
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