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标题: 考考牌友们的数学直觉，哪个概率大？ [打印本页]
作者: xfk2050 时间: 2021-1-17 07:07
标题: 考考牌友们的数学直觉，哪个概率大？
1．A 、 B 、 C 、 D 四人玩扑克牌游戏， A 、 C 两人同盟， B 、 D 两人同盟。将除去大小王的 52 张牌随机分发给四人（每人获得 13 张牌）后，下面哪种情况的可能性更大一些？
A．A 、 C 两人手中都没有梅花
B．A 、 C 两人手中囊括了所有的梅花
C．上述两种情况的出现概率相同
作者: xfk2050 时间: 2021-1-17 07:09
趣题：用 26 次机会找出任意一张对方想要的牌
看守打算和 A 、 B 两名囚犯做一个游戏。首先，看守从一副牌中取出大小王，将剩余的 52 张牌洗好，并在桌子上从左至右地把它们摆成一排，每张牌都是正面朝上。然后，看守让囚犯 A 来到桌前，允许囚犯 A 观察牌面，并交换其中两张牌的位置。接着，看守将囚犯 A 关回牢房，把所有牌全都翻到背面朝上（但位置不变），让囚犯 B 来到桌前。看守随便报出一张牌的花色和点数（比如“梅花 3”），要求囚犯 B 找出这张牌。囚犯 B 每次可以翻开任意一张尚未翻开的牌，但一共只有 26 次机会。如果囚犯 B 在这 26 次机会之内找到了看守想要的牌，则两名囚犯赢得游戏，无罪释放；如果囚犯 B 翻开了 26 张牌之后，还没找到看守想要的牌，则两名囚犯输掉游戏，立即死刑。在整个游戏开始之前，两名囚犯可以商量一个策略；游戏开始后，两人就不能有任何其他形式的交流。果不其然，这又是一个关满了数学天才的监狱。两名囚犯碰头后，很快就商量出了一种必胜的策略。这种必胜的策略是什么？
作者: xfk2050 时间: 2021-1-17 07:19
在一根木棒上随机选择两个点，并在这两个点处下刀，把木棒砍成三段。下面哪种情况的可能性更大一些？
A．这三段木棒能拼成一个三角形
B．这三段木棒不能拼成一个三角形
C．上述两种情况的出现概率相同
作者: xfk2050 时间: 2021-1-17 07:19
圆周上均匀分布着 100 个点。随便选择两个点连一条线段，再随便选择另外两个点连一条线段。那么，下面哪种情况的可能性更大一些？
A．两条线段相交
B．两条线段不相交
C．上述两种情况的出现概率相同
作者: xfk2050 时间: 2021-1-17 07:20
把一副洗好的牌（共 52 张）背面朝上地摞成一摞，然后依次翻开每一张牌，直到翻出第一张 A 。那么，下面哪种情况的可能性更大一些？
A．翻开第 3 张牌时出现了第一张 A
B．翻开第 4 张牌时出现了第一张 A
C．上述两种情况的出现概率相同
作者: xfk2050 时间: 2021-1-17 07:20
把一副洗好的牌（共 52 张）背面朝上地摞成一摞，然后依次翻开每一张牌，直到翻出第一张 A 。那么，下面哪种情况的可能性更大一些？
A．再下一张牌是黑桃 A
B．再下一张牌是黑桃 2
C．上述两种情况的出现概率相同
作者: xfk2050 时间: 2021-1-17 07:21
把一副洗好的牌（共 52 张）背面朝上地摞成一摞。翻开最上面的那张牌，记住这张牌是什么颜色（红色还是黑色），然后将它背面朝上地放回原处。随机切一次牌（即把扑克牌随机分成上下两摞，把下面这摞牌叠在上面这摞牌的上面），然后再次翻开最上面的那张牌，记住这张牌是什么颜色（红色还是黑色）。那么，下面哪种情况的可能性更大一些？
A．两次看到的牌的颜色相同
B．两次看到的牌的颜色不同
C．上述两种情况的出现概率相同
作者: xfk2050 时间: 2021-1-17 07:22
法国有法国的轮盘赌，俄罗斯也有俄罗斯的轮盘赌。不过，战斗民族的赌博方式可不一样——不是赌钱，而是赌命。俄罗斯轮盘赌可谓是史上最酷的决斗方式。左轮手枪的转轮中有六个弹槽。在其中一个弹槽中放入一颗子弹，然后快速旋转转轮，再把它合上。参与决斗的两个人轮流对准自己的头部扣动扳机，直到其中一方死亡。这是一场真男人游戏，双方胜负的概率各占 50% ，游戏没有任何技巧可言，命运决定了一切。为了让游戏更加刺激，这一回我们稍微改变一下游戏规则。在转轮的连续三个弹槽中放入子弹，然后旋转并合上转轮。这一次，理论上，下面哪种情况的可能性更大一些？
A．先开枪的人死亡
B．后开枪的人死亡
C．上述两种情况的出现概率相同
作者: rahj 时间: 2021-1-17 09:11
C．上述两种情况的出现概率相同
作者: rahj 时间: 2021-1-17 09:12
第二问我知道答案,不过这题很意思,大家可以做做
作者: rahj 时间: 2021-1-17 09:18
A．先开枪的人死亡
提示:所有扑克牌的都很简单,不过那个圆的我还没想到答案
作者: glamglow 时间: 2021-1-17 14:03
第一题选C．上述两种情况的出现概率相同
作者: notch 时间: 2021-1-18 15:37
木棒这道题，若使三段不能组成三角形，设木棒长1，分成三段C>B>A，则有C>=B+A，且C+B+A=1
也就是C>=1/2
将木棒从中点分成左右两部分，若两个断点都落在任意一边，则必然有C>=1/2
这个概率是1/2*1/2+1/2*1/2=1/2
当两个断点落在中点两侧，还有可能使C>=1/2，所以C>=1/2的总体概率一定大于1/2
所以组不成三角形的概率更高
作者: notch 时间: 2021-1-18 15:55
圆周这题应该也是不相交概率高
任意两点AB选中以后，它将圆周分成两部分，这两部分上分布的点分别为 N，M>=0，N+M=98
会与线段AB相交的情况是一点在N，一点在M，若两点同在N或同在M，则不相交
所以相交的概率是 (N*M)/(98*97/2)
N，M的组合是从(0, 98)，(1, 97)，一直到(98, 0)，这些组合的概率是相同的
所以所有N，M组合的平均值就是相交的概率
将这些N,M代进去运算，从(40, 58)开始平均概率就低于1/2了，更别提(0, 98)到(39, 59)还有40个组合都是低于1/2的。所以相交的概率是低于1/2的
实际上相交的概率是1/3
作者: notch 时间: 2021-1-18 16:02
开枪的这道题目应该是合上枪以后不再旋转转轮了。若连续三个弹槽放子弹，设为1，2，3，而4，5，6没有子弹。可以看出当先开枪的人选中了1，2，3，5弹槽的时候会死亡，所以他的死亡概率是2/3。
作者: 老陈 时间: 2021-1-19 09:35
第1问。概率相同。A、C囊括了所有的梅花，和B，D没有一张梅花是一回事。
作者: 老陈 时间: 2021-1-19 10:15
xfk2050 发表于 2021-1-16 17:19
在一根木棒上随机选择两个点，并在这两个点处下刀，把木棒砍成三段。下面哪种情况的可能性更大一些？
A． ...
第三问。
我们把木棒分为101份(不是切断)，为了叙述方便，把选中的两个点称为A点和B点。
我们计算能够成为三角形的概率。
A点在第1份时，B点在第51份；
A点在第2份时，B点在第51，52份；
A点在第3份时，B点在第51-53份；
...
A点在第51份时，B点在51-101份。
这些情况加起来：51*52/2
A和B落在哪里有101*101种情况。
如果我们把木棒分成2N+1份，能够成三角形的可能性有(N+1)(N+2)/2种，总共有(2N+1)(2N+1)种。
当N趋于无穷大时两式相除的极限是1/8，这就是能够成为三角形的概率。
作者: 老陈 时间: 2021-1-19 10:36
本帖最后由 老陈 于 2021-1-19 15:37 编辑
xfk2050 发表于 2021-1-16 17:19
圆周上均匀分布着 100 个点。随便选择两个点连一条线段，再随便选择另外两个点连一条线段。那么，下面哪种 ...
第4问。
把第一条线的两个点称为A点和B点。
把第二条线的两个点称为C点和D点。
把圆周上的100个点编号1-100，A点为第1点。
如果B点的号码在C点和D点之间则两条线相交，否则不相交。
在C点号码为2时:
D点号码为4时，B点号码为3时相交；1种情况。
D点号码为5时，B点号码为3、4时相交；2种情况。
...
D点号码为100时，B点号码3-99时相交。97种情况。
合计：97*98/2
在C点号码为3时:
D点号码为5时，B点号码为4时相交；1种情况。
D点号码为6时，B点号码为4、5时相交；2种情况。
...
D点号码为100时，B点号码4-99时相交。96种情况。
合计：96*97/2
…
在C点号码为98时:
D点号码为100时，B点号码为99时相交；
合计：1
把上面这些数字求和：
1 + 1*2/2 + 2*3/2 + 3*4/2 + ... + n*(n+1)/2 + ... + 97*98/2
对n*(n+1)/2求和，n=1,2,3,...,97
n*(n+1)/2 = n^2/2 + n/2
结果：n(n+1)(2n+1)/12 + n(n+1)/4 = n(n+1)(n+2)/6
把n=97代入得：99*98*97/6
D的号码小于B的号码时也有这么多次。99*98*97/6*2 = 99*98*97/3。
B、C、D三个点不同的分布有99*98*97种
相除得到两条线相交的概率为:1/3。
作者: 老陈 时间: 2021-1-19 12:56
xfk2050 发表于 2021-1-16 17:20
把一副洗好的牌（共 52 张）背面朝上地摞成一摞，然后依次翻开每一张牌，直到翻出第一张 A 。那么，下面哪 ...
第五问：
我理解楼主的意思是，第一张不是A，第二张不是A，第三张是A。这样就可以回答了。
A的可能性是48/52*47/51*4/50=6.28%。
B的可能性是48/52*47/51*46/50*4/49=6.39%
作者: 老陈 时间: 2021-1-19 13:03
xfk2050 发表于 2021-1-16 17:20
把一副洗好的牌（共 52 张）背面朝上地摞成一摞，然后依次翻开每一张牌，直到翻出第一张 A 。那么，下面哪 ...
显然B>A
因为翻出的A是黑桃A，再翻出黑桃A的可能性为零。
翻出的A不是黑桃A两者一样。
作者: 老陈 时间: 2021-1-19 13:08
xfk2050 发表于 2021-1-16 17:21
把一副洗好的牌（共 52 张）背面朝上地摞成一摞。翻开最上面的那张牌，记住这张牌是什么颜色（红色还是黑色 ...
概率相同。
因为第二张翻出红色与翻出黑色的概率相同，与第一张什么颜色无关。
作者: 老陈 时间: 2021-1-19 13:42
xfk2050 发表于 2021-1-16 17:09
趣题：用 26 次机会找出任意一张对方想要的牌
看守打算和 A 、 B 两名囚犯做一个游戏。首先，看守从一副 ...
第二问。
以前回复过Howard一个问题。他的题目是，100个抽屉，每个抽屉里有一个号码，让100个囚犯找自己的号码，每个囚犯可以打开50个抽屉，如果随机打开抽屉，成功的概率是0.5^100，如果有好的策略可以把成功的概率提高到31%。好像两道题有相似之处。现在还没想好。
作者: 老陈 时间: 2021-1-19 14:17
本帖最后由 老陈 于 2021-1-19 15:22 编辑
xfk2050 发表于 2021-1-16 17:09
趣题：用 26 次机会找出任意一张对方想要的牌
看守打算和 A 、 B 两名囚犯做一个游戏。首先，看守从一副 ...
第二问。
采用追圈法。
先把52张牌编号，牌点A>K>Q>...>3>2，花色S>H>D>C，牌点优先。比如方片3=6，黑桃10=36。
囚犯A观察52张牌，找到前面没有观察到的最小的牌，记住这张牌的位置P，最开始就是1，编号是几就去看第几张牌，得到一个号码，再去看这个号码的那一张牌，一直到找到开始哪张牌。接下来找到前面没有观察到的最小的牌开始重复前面操作，这样得到很多个圈。如果最长的一个圈牌张数不多于26，就交换同一个圈的任意两张牌，相当于没有交换。如果有一个圈牌张数27或更多，就把第26张牌与编号是P的那张牌交换（如果第1张从位置1开始，就和梅花2交换）。这样可以确保每个圈的长度不会超过26。当看守要求找第N号牌，囚犯B就先翻开第N张牌，看号码就是翻下一张牌的位置，这样26次之内肯定找到看守要的那一张牌。
作者: 老陈 时间: 2021-1-19 15:12
本帖最后由 老陈 于 2021-1-19 17:53 编辑
xfk2050 发表于 2021-1-16 17:22
法国有法国的轮盘赌，俄罗斯也有俄罗斯的轮盘赌。不过，战斗民族的赌博方式可不一样——不是赌钱，而是赌命 ...
开枪的问题。一颗子弹时双方胜率不是各50%。
第一枪时打中的概率1/6，第二枪打中的概率(1-1/6)/6。
继续下去也是一样，第二人打中自己的概率是第一个人的5/6，就是说第一个人死的概率是6/11，第二个人死的概率是5/11。
同理可解3颗子弹情况，与子弹的位置无关。
作者: notch 时间: 2021-1-19 17:02
第二枪应该是（1-1/6）/5吧，仍然是1/6啊。
在不重新旋转弹轮的情况下，应该是各50%
作者: 老陈 时间: 2021-1-19 19:12
本帖最后由 老陈 于 2021-1-19 05:49 编辑
notch 发表于 2021-1-19 03:02
第二枪应该是（1-1/6）/5吧，仍然是1/6啊。
在不重新旋转弹轮的情况下，应该是各50%
...
题目中说的是转轮快速旋转，就是说扣扳机时有没有子弹是随机的。不是甲打完第一枪如果槽里没有子弹乙打下一个槽。有可能甲乙二人各开枪10次，都没把子弹打出。
第一枪甲开枪，6个槽1个子弹，甲打中自己的概率为1/6。
第二枪乙打中自己也是一样概率为1/6，但是第一枪甲打中了自己，乙就没有必要打第二枪了。就是说乙有5/6的机会开枪，并且开枪打中自己的概率是1/6，相乘得1/6 * 5/6。
作者: 老陈 时间: 2021-1-20 10:04
本帖最后由 老陈 于 2021-1-19 20:09 编辑
第4问。解法2。
把第一条线的两个点称为A点和B点。
把第二条线的两个点称为C点和D点。
把圆周上的100个点编号1-100，A点为第1点。
把B，C，D三个点按编号从小到大排列，有以下6种可能：
BCD 不相交；
BDC 不相交；
CBD 相交；
CDB 不相交；
DBC 相交；
DCB 不相交；
2种情况相交，4种情况不相交。
相交1/3，不相交2/3。
无论取哪3个点结论完全一样。
所以最后结论：相交1/3，不相交2/3。
其实无论多少个点，也不必管分布是否均匀，结论完全一样。
作者: notch 时间: 2021-1-20 11:28
我的理解是转轮快速旋转以后双方依次开枪
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