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标题: 尝试翻译《The Mathematics of Poker》 [打印本页]

作者: dengxianqi 时间: 2012-9-13 16:14
标题: 尝试翻译《The Mathematics of Poker》
本帖最后由 dengxianqi 于 2012-9-14 16:16 编辑

感谢mooch，今天终于弄到了神往已久的Bill Chen的《The Mathematics of Poker》电子版。
我将尝试在这个帖子下做个翻译。看看自己能不能坚持下去吧。 300多页word啊……
每天翻一点，日积月累吧。

***********************我是分割线********************************************
第一部分：基础
“数学法则用在现实中是不确定的，确定的时候，又不能用于现实。”
—— 阿尔伯特•爱因斯坦

第一章
风险之下的决策：概率及期望
有多少个玩扑克的玩家，就有多少个不同的玩扑克的原因。有些人玩扑克是为了社交，使自己感觉属于某个圈子或某一类人；有些人仅仅为了消遣，享受时光。有很多人玩扑克为了享受竞争的乐趣。还有一些，是因为染上了赌瘾，或者是为了将生活中的其他痛苦的事情抛诸脑后。对于因为这些原因而玩扑克的人来说，他们难以采用数学的方式去玩扑克，其中一个原因是，享受乐趣或寻找归属感的价值是难以进行量化的。

除了那些模糊以及难以量化的原因之外，还有一些存在于玩扑克本身之外的利益驱动因素。比如说，WSOP的主赛冠军除了可以得到一笔巨额的奖金之外，实质上还可通过一些商业合约、活动等获取一大笔收入。扑克桌上的玩家们还有一些其他的考虑事项：可能，再输一手牌将会带来一个严重的心理上的打击。我们也许会批判这种观点认为其非理性，但是，在进行对玩扑克的动机的穷尽研究中，这些考虑事项也是需要列入的。即便我们仅仅将研究局限于金钱奖励方面，我们仍然可以发现，人们对于金钱数量的喜好是非线性的。对于大多数人，“肯定赢得五百万美金”，比起“有50%的可能赢得一千万美金”，要更有价值，或者说，更加有“效用”。对于大多数人来说五百万美金是一笔可以改变一生的钱财，而额外的五百万美金的边际价值就要小很多了。

在更广的意义上来说，所有的这些事项都能归入经济学里面的“效用理论”分支。效用理论学家们致力于量化个体的偏好，并且创造一个框架使得金钱相关的因素与非金钱相关的因素可以直接放在一起比较。在现实中，我们玩扑克时（或，事实上，做任何事时），我们致力于最大化的，是效用。然而，使用效用理论作为分析的基础存在一个困难：每个个体都有自己不同的效用曲线，以至于进行总体分析变得异常的困难。

所以，在这本书中，我们将不去考虑效用，而是以在游戏中赢得的钱作为效用的代表。在第四章的“资金理论”章节，我们将深入的探讨一些进行最佳游戏（meta-game)时的考虑因素，介绍一些概念，例如：破产风险、凯利标准（Kelly criterion）、确定性当量（certainty equivalent）。这些虽然都存在于游戏之外，但却是从根本上衡量风险的方法。然而，除非特别声明，以下陈述将作为基本前提：玩家的资金量相对于他所玩的游戏级别来说是充足的；玩家的唯一目的是在每一个时点通过做出最佳决策来最大化所能赢得的金钱。

最大化在扑克中赢得的钱，需要玩家最大化他们所作出的决策的期望值（EV）。然而，在我们引入这个基石理念之前，我们需要先花点时间来讨论一下在其之下的一些概率方面的概念。下面的材料来自于Richard Epstein在1967年所著《The Theory of Gambling and Statistical Logic （赌博理论及统计逻辑）》，一本在概率及赌博方面的很有价值的初级读本。

作者: flyinglion 时间: 2012-9-13 16:54
对凯利标准一章非常有兴趣！赞！

作者: estelle0807 时间: 2012-9-14 00:12
这不是鼓励我们这些英语不好的懒人坐享其成嘛。。。

作者: dengxianqi 时间: 2012-9-14 16:32
本帖最后由 dengxianqi 于 2012-9-14 16:39 编辑

概率

玩扑克时绝大多数决策是需要在结果尚未确定的情况下去做的。当发牌员发出牌时，玩家的手牌是未知的，至少，在有人观察了手牌之前它们是未知的。然而我们仍然掌握着一些关于其他玩家手牌的信息。这个游戏的规则对手牌的内容进行了一些限制：举例来说，一名玩家的手牌有可能是同色的红桃J和T，但他的手牌不可能是台球桌上的Ace和Prince（这里我估计是一个小笑话，用了毫不相干的台球领域的两个牌子）。牌堆的组成早在游戏开始之前就已经被设好了，这就给了我们一些关于手牌的信息。

考虑一副德州扑克的手牌。有多大几率这手牌有两张A？你可能已经知道答案了，但请仔细思考这个答案的含义。如果我们发一百万次牌情况会是怎样？其中会出现多少次一对A？如果发一千万次牌呢？随着发牌次数的不断增多，发出一对A的次数与总共发出的手牌数之比将趋近于一个确定的数字。我们将这个数字定义为概率。概率是扑克游戏中用于做决策的关键，因为概率提供了一个数学上的分析框架，使我们可以对不确定事件的发生可能性进行评估。

如果一个实验进行n次（比如，发一手德州扑克手牌），出现了n0次x事件，我们定义事件x的发生概率p为p{x)，如下：
[attach]2080[/attach]

这里，一副德州扑克手牌为一对A的可能性是1/221。当然，我们可以通过发一百亿手牌然后观察一对A的比率这个方式来确定这个数字。很明显，这将是个十分繁琐且困难的过程。然而，我们可以采用另一种更好的方法——将问题分解。首先，我们考虑只有一张牌的情形。发一张牌是A的概率是多少呢？这个问题甚至还能进一步分解——发一张牌是黑桃A的概率是多少呢？

这个最终极的问题可以很直接的回答。我们做出以下假定：
• 一副标准的扑克有52张牌。
• 每张牌都是平等的。
这样，任意一张牌被抽出的概率均为1/52。如果这张被抽出的牌是黑桃A的可能性是1/52，那么这张被抽出的牌是任意花色的A的可能性是多少呢？这张牌是黑桃A或红桃A或方块A或梅花A的可能性是平等的。牌堆中有4张A，每张都有1/52的可能性成为那张被抽出来的牌，把这些概率加总，我们得到：
p(A)=4*(1/52)=1/13
我们可以将这些概率直接相加，是因为他们是完全互斥的；也就是说，没有哪张牌可以同时是黑桃A以及红桃A。注意到这个概率1/13和“A的张数与牌堆的总张数之比”完全相等。这种关系与个体概率的可加总性同时存在。

独立事件
然而，有些事件并非完全互斥的。考虑以下案例中的两个事件：
1. 这张牌是红桃的
2. 这张牌是一张A.
如果我们试图计算出“随机抽取一张牌，而这张牌是红桃的或是A”的概率，我们发现在52张牌的牌堆中共有13张红桃，所以这张牌是红桃的可能性是1/4。如前所述，这张牌是A的可能性是1/13。然而，我们不能像之前那样将这两个概率简单的相加，因为一张牌有可能同时是A且是红桃的。

事件之间有两类关系。第一类是互相之间毫无影响的事件。例如，某天的纳斯达克日终指数与当晚在摩纳哥一家赌场里的一张骰子赌台上一个骰子的点数，这两者是根本上毫不相关的事件。任何一方都无法对另一方造成不可忽略的影响。如果两个事件同时发生的概率相等于两个单独事件发生概率的乘积，这两个事件被称为独立事件。事件A与事件B同时发生的概率叫做事件A和B的联合概率。

在上面的案例中，一张牌同时是红桃且是A的联合概率是 1/13乘以1/4，得1/52。这是因为以下事实：“这张牌是红桃的”不会影响到“这张牌是A”的可能性——四种花色都有一套相同的牌。

独立事件不是完全互斥的，除非其中一个事件的发生概率为0。在这个例子中，牌堆中红桃的张数是13，并且A的总张数是4。然而，如果把这两个数字相加，我们就重复计算了一张牌——红桃A。事实上，共有13张红桃以及另外的3张A，或者说，有4张A以及另外的12张红桃。这个概念的一般应用为，两个非互斥的事件A和B至少有一个发生的概率为，事件A发生的概率加上事件B发生的概率再减去事件A和B的联合概率。所以，一张牌是红桃的或是A的概率，相等于它是红桃的可能性（1/4）加上它是A的可能性（1/13）减去它既是红桃又是A的可能性（1/52），计算得4/13。这个应用对两类事件都成立，独立事件以及相关事件。

作者: mousoeng 时间: 2012-9-14 21:34

tsinghua的姑娘也会发出英文不好的哀鸣吗XD...

不过我有个提议... 逐句翻会很累... 翻译的时候翻其大略, 会省很多事情... 墙先生翻的司机宝书就成文颇短...

作者: Howard 时间: 2012-9-14 21:35
这本书老邓来翻译再好不过了，有足够数学背景和扑克背景，有认真细致。

我觉得难度最大的是无数公式，要一一搞上来，老邓用的什么公式编辑器？一定要挑个顺手的，否则很快就坚持不下去了。

作者: estelle0807 时间: 2012-9-14 23:38
本帖最后由 estelle0807 于 2012-9-14 23:41 编辑

那个，不是有电子版嘛，公式不用翻可以直接截图啊

我不是清华的哈，我只是在母校bbs垮掉以后就一直混水木bbs了

作者: Howard 时间: 2012-9-14 23:49
水木第几次垮掉了？我印象中1998-2003是各大高校BBS的黄金时期，到了2003闹非典的时候，一塌糊涂BBS已经成为言论非常自由的综合性讨论大本营。那时候可真好啊！可惜好景不长，2004一塌糊涂被迫关站，这种十几万几十万活动用户的大型BBS，居然就这么鸟悄的没了，我当时就崩溃了。随后各大高校bbs也都改成拒绝校外IP，校方接管等等。我对新一届政府一下子失望透顶

作者: dengxianqi 时间: 2012-9-15 01:08

Howard 发表于 2012-9-14 21:35
这本书老邓来翻译再好不过了，有足够数学背景和扑克背景，有认真细致。

我觉得难度最大的是无数公式，要一 ...

我用的是神器----截图~

作者: flyinglion 时间: 2012-9-15 15:15

Howard 发表于 2012-9-14 23:49
水木第几次垮掉了？我印象中1998-2003是各大高校BBS的黄金时期，到了2003闹非典的时候，一塌糊涂BBS已经成 ...

2004年9月13日，我一直觉得那一天必须写入历史！

作者: Howard 时间: 2012-9-16 04:00
一塌糊涂代表了中国网络自由的巅峰。全国闹非典的时候就它还坚持讨论孙志刚案，直接造成废除收容制度，仅此一功就足矣胜过无数纸媒和电视广播啥的。一塌糊涂被关，网民只能真正糊涂，思想自由度直接倒退二十多年。必须写入历史，这句话太对了

作者: maomaobiao 时间: 2012-9-17 06:42

Howard 发表于 2012-9-16 06:00
一塌糊涂代表了中国网络自由的巅峰。全国闹非典的时候就它还坚持讨论孙志刚案，直接造成废除收容制度，仅此 ...

说这些干什么......

网络流行度高了，背景杂音盖过好听的声音，这是必然。

今天的水木，也远非昔日的水木了。

作者: flyinglion 时间: 2012-9-17 14:25
当年应该多买几件站衫，结婚的时候还能当情侣装穿，现在想要只能自己去印了……好在我有很多进站哈哈

作者: xiaozhu88 时间: 2012-9-19 02:58
本帖最后由 xiaozhu88 于 2012-9-19 03:00 编辑

flyinglion 发表于 2012-9-13 16:54
对凯利标准一章非常有兴趣！赞！

凯利标准（Kelly criterion）??

翻译成中文，多数还是用“凯利指数”吧！

凯利指数，在中文赌博类论坛已是常用词，看到有人还用“凯利标准”做译文，个人感到看着很别扭。

特别在此提出一个观点，就引用不久前，在别处看到墙版的一段话，做为回复：

我翻译的宗旨是尽量别看出有翻译的痕迹。我不是看着英语去翻译，而是看懂了自己再去写。我很讨厌看那些有明显翻译迹象的东西。如果你有空去看看乱世佳人，一个是傅东华翻译的，就看不出翻译的痕迹。另一个，在中国大陆广泛销售的，作者叫做陈良廷，就是为了翻译而翻译的，句子顺序还是英语的，看着特累，用的根本就不是人类的中文。这个傅东华当年跑台湾去了，现在网上书店仍然有傅东华版本的飘再卖。

谁有兴趣比较一下，看谁翻译得好

陈良廷的

思嘉·奥哈拉长得并不漂亮，但是男人们像塔尔顿家那对孪生兄弟为她的魅力所迷住
时，就不会这样想了。她脸上有着两种特征，一种是她母亲的娇柔，来自法兰西血统的海滨
贵族；一种是她父亲的粗犷，来自浮华俗气的爱尔兰人，这两种特征混在一起显得不太协
调，但这张脸上尖尖的下巴和四方的牙床骨，是很引人注意的，她那双淡绿色的眼睛纯净得
没有一丝褐色，配上乌黑的睫毛和翘起的眼角，显得韵味十足，上面是两条墨黑的浓眉斜在
那里，给她木兰花般白皙的肌肤划上十分分明的斜线，这样白皙的皮肤对南方妇女是极其珍
贵的。她们常常用帽子、面纱和手套把皮肤保护起来，以防受到佐治亚炎热太阳的暴晒。

傅东华的

那郝思嘉小姐长得并不美，可是极富魅力，男人见了她，往往要着迷，就像汤家那一对双胞胎兄弟似的。原来这位小姐脸上显得混杂着两种特质：一种是母亲给她的娇柔，一种是父亲给她的豪爽。因为她母亲是个法兰西血统的海滨贵族，父亲是个皮色深浓的爱尔兰人，所以遗传给她的气质难免不调和。可是质地虽然不调和，她那一张脸蛋儿确实在迷人得很，下巴额尔尖尖的，牙床骨儿方方的。她的眼珠子是一味的淡绿色，不杂一丝儿茶褐，周围竖着两撇墨墨的蛾眉，在她那木兰花一般白的皮肤上，划出两条异常惹眼的斜线。就是她那一身皮肤，也正是南方女人最喜爱的，谁要长着这样的皮肤，就要拿帽子，面罩，手套之类当心保护着，舍不得让那太热的阳光晒黑。

作者: flyinglion 时间: 2012-9-19 03:42
显然邓兄是个不买球的好孩子，不过一个术语的翻译，通常是出于使用习惯，不知道的人难免有些与习惯不符。再说这是个扑克书籍，本非文学作品，貌似也无从比较。

作者: dengxianqi 时间: 2012-9-19 09:14
嗯，Kelly criterion 比较多的翻译成“凯利准则”，我当时脑子一时短路，想不起“准则”这个词，就翻成了“标准”，其实是一个意思。我还没看到这本书的相关章节（因为这几天有很多其他事缠身），但我估计那章应该讲的是以下公式：
f = （b*p-q）/b
其中，f 是应该用自己多大比例的资金去下注/投资，b是池底比/投资回报比，p是赢钱概率，q是输钱概率。
说的应该是和资金管理相关的问题。也就是，给定b的话，你的优势越大（p越大），你就可以用自己bankroll的更大比例去游戏（f越大），也就是可以用更激进的方式进行资金管理。

这个和我所了解的现在用于足彩分析的凯利指数好像有些不同。足彩中的凯利指数是三个数，分别标明庄家对三种结果的返还率，玩家通过分析凯利指数来估计庄家对赛果的预测（有时可能涉及到假球相关的事情）从而进行下注。

不过刚才我查了一下资料，这两个应用貌似是同根的。我估计是同一个理论在不同情况下的应用。

作者: dengxianqi 时间: 2012-9-19 09:19
再退一步说，我翻译又不是为了出书拿去卖，纯粹为了让其他阅读英文书籍有障碍的玩家能更轻松的接受这些理论，而已。

作者: Howard 时间: 2012-9-19 10:20
xiaozhu的88，人家那翻译来是卖的，商业的。老邓同学这是兴趣，真正为牌民服务，纯搭时间不为名不为利的，你一整下去打击积极性干嘛。再说一个术语翻译，不至于跟你说的，还成了事儿了，这儿恐怕知道你那个“标准”翻译的也没几个

作者: 伟大的墙 时间: 2012-9-19 10:48

xiaozhu88 发表于 2012-9-19 02:58
凯利标准（Kelly criterion）??

翻译成中文，多数还是用“凯利指数”吧！

这是我4,5年前写的

没有针对老邓的意思，老邓你翻译得很好，好好干。

作者: 小朱 时间: 2012-9-19 13:46
提示: 作者被禁止或删除内容自动屏蔽

作者: flyinglion 时间: 2012-9-19 14:24

dengxianqi 发表于 2012-9-19 09:14
嗯，Kelly criterion 比较多的翻译成“凯利准则”，我当时脑子一时短路，想不起“准则”这个词，就翻成了“ ...

足彩的凯利指数我一直研究不透，看了一些这方面的资料，看不太懂。
后来简单经验得出，相同的赔率对应的凯利指数是一样的，我开始觉得足彩网站上所谓的凯利指数就是个伪科学，用固定公式换算的……
所以一直很好奇，这个凯利指数究竟有什么用，和赛果的关联度多大呢？

倒是资金管理上用这个凯利应该大有好处，比如茶版那个连红5年的哥们，要是有用这个算一算，再来点风投，估计就跟前次谣传中的澳大利亚赌球集团差不多了……

哎，其实挺悲催的，发现开始对赔率产生兴趣以后，看球的乐趣少了不少。
昨晚是第一次开始觉得说不定欧冠也有鬼的，皇马那样逆转曼城，要不是皇马会员太有钱，就是我太傻B了，哎

作者: dengxianqi 时间: 2012-9-19 15:39

flyinglion 发表于 2012-9-19 14:24
足彩的凯利指数我一直研究不透，看了一些这方面的资料，看不太懂。
后来简单经验得出，相同的赔率对应的 ...

我好像一直都对看球没啥兴趣……

作者: dengxianqi 时间: 2012-9-19 15:42

flyinglion 发表于 2012-9-19 14:24
足彩的凯利指数我一直研究不透，看了一些这方面的资料，看不太懂。
后来简单经验得出，相同的赔率对应的 ...

”茶版那个连红5年的哥们“指的哪个帖子？

作者: xiaozhu88 时间: 2012-9-20 02:20
[attach]2089[/attach]

[attach]2090[/attach]

作者: kobe_t 时间: 2012-10-2 10:56
这书不是英文好就能翻译成, 要一定的数学基础阿.........我有书本在手上, 现在才后悔大学没好好学高数啊

作者: dengxianqi 时间: 2012-10-23 16:28

kobe_t 发表于 2012-10-2 10:56
这书不是英文好就能翻译成, 要一定的数学基础阿.........我有书本在手上, 现在才后悔大学没好好学高数啊 ...

应该没用到什么二阶偏导连续性之类的东西吧？
我的微积分可能稍差点，概率啊，组合啊，之类的，一般还是没啥问题的，反正也不是在“规定的时间规定的地点”去考试，哈~

作者: dengxianqi 时间: 2012-10-23 16:38
本帖最后由 dengxianqi 于 2012-10-23 16:39 编辑

相关事件

然而，有一些事件是互相影响的。比如，在一场棒球比赛前，某支球队的一个天才投手有3%的概率能投出9局好球而不让对方跑上一个垒；而他的队的历史胜率为60%。然而，这个投手的队赢得比赛的同时他也让对方无法得分的概率很明显不会是60%乘以3%。相反，这个概率非常接近3%本身，因为当这个投手实现“投出9局好球而不让对方跑上一个垒”的时候，事实上这支队一般都是获胜的。这样的事件之间就是“相关的”。我们同样可以考虑条件概率“当B事件发生时A事件也发生的概率”。对于相关事件A和B来说，A与B同时发生的概率等同于A发生的概率乘以条件概率“当A发生时B发生的概率”。如果条件概率“当B发生时A发生的概率”等同于A事件单独发生的概率，则两个事件叫做不相关的。

下面的公式较为正式的总结了以上这些论点：
p(A ∪B) =事件A或者事件B发生的概率.
p(A ∩B) =事件A以及事件B发生的概率.
p(A|B) = 条件概率“当B已发生时A发生的概率”.

符号 ∪ 及 ∩ 来自“集合论”，用来正式的表示“并集”以及“交集”。我们更喜欢通俗一点的说法“或”以及“与”。同样地，| 是表示“当……时”的符号，所以我们可以按照以下方式来表达：
p(A ∪B) = A 或 B发生的概率
p(A ∩B) = A 与 B同时发生的概率
p(A|B) = 当B发生时A发生的概率”

对于互斥事件，:
p(A ∪B)=p(A)+ p(B) (1.2)

对于不相关事件:
p(A ∩B)=p(A)p(B) (1.3)

对于所有事件:
p(A ∪B)=p(A)+ p(B)-p(A ∩B)    (1.4)

对于相关事件:
p(A ∩B)=p(A)p(B|A) (1.5)

公式（1.4）对于互斥事件来说，简化成了公式（1.2），因为p(A ∩B)=0 。同样的，公式（1.5）对于不相关事件来说，简化成了公式（1.3），因为p(B|A)=p(B) 。另外，如果 p(B|A)=p(B), 则p(A|B)=p(A)。

现在我们可以回到最初的问题。一副手牌为一对A概率是多少？这里包括两个事件：

• A: 第一张牌是一张A
• B: 第二张牌是一张A.

p(A)=1/13, p(B)=1/13，显然。然而，这两个事件是相关的，如果A发生了（第一张牌是一张A），那么B发生的可能性会降低，因为每张牌发出来后就不会重新放入牌堆了。所以，p(B|A)就是当第一张牌是一张A的条件下第二张牌也是一张A的可能性。还剩下三张A，牌堆中还有51张牌，所以p(B|A)=3/51，即1/17.

p(A ∩B)=p(A)p(B|A)
p(A ∩B)= (1⁄13)(1⁄17)
p(A ∩B)= 1⁄221

关于概率，还有其他很多简单属性可以提提的。第一，一个事件的概率不会小于0也不会大于1.回想一下概率的定义，n次试验不可能导致一个事件发生次数多于n，也不可能小于0。一个事件如果肯定发生，其概率则为1。一个永远不会发生的事件，其概率为0。一个事件的补集的概率，即这个事件不会发生的概率，可以简单的通过1减去这个事件的概率得到。
我们用以下公式及符号总结一下：
p( ¯A  )=  A不发生的概率
C = 一个确定事件
I = 一个不可能事件

我们将得到：
0≤p(A)≤1 ，对于所有的A (1.6)
p(C) = 1 (1.7)
p(I) = 0 (1.8)
p(A)+p( ¯A  )=1 (1.9)

公式（1.9）也可表示为：
p(A)=1-p( ¯A  ) (1.10)

我们可以使用这些规则解决很多概率问题。
一些常见的概率问题是很简单的，比如，摇两个骰子，两个都是6点的概率。这个问题可以使用公式（1.3）解决，因为两个骰子之间是不相关的。用p(A)表示第一个骰子摇到6点的概率，用p(B)表示第二个骰子摇到6点的概率。则有：
p(A ∩B)=p(A) * p(B)
p(A ∩B)= (1⁄6) * (1⁄6)
p(A ∩B)= 1⁄36

同样的，使用公式（1.2），一个玩家拿到一对A、一对K、或一对Q的概率为：
p(AA) = 1⁄221
p(KK) = 1⁄221
p(QQ) = 1⁄221
p({AA, KK, QQ}) = p(AA) + p(KK) + p(QQ)  = 3⁄221

同样地，我们可以解决一些更加复杂的问题，比如：
两张同色的牌直接在flop中flush的概率是多大？

我们拿到了flush中的两张牌，牌堆中还剩11张。Flop的三张牌都是这一门花色，意味着：
A：第一张牌是这门花色；
B：第一张牌是这门花色的条件下第二张牌也是这门花色；
C：前两张牌都是这门花色的条件下第三张牌也是这门花色。

p(A) = 11⁄50 (牌堆已经减去我们手上的2张牌)

p(B│A)= 10⁄49 (1张这门花色拍，并且共3张牌从牌堆中减去)

p(C│(A∩B))= 9⁄48 (2张这门花色拍，并且共4张牌从牌堆中减去)

根据公式（1.5），我们得到：
p(A ∩B)=p(A)p(B|A)
p(A ∩B)= (1⁄50)(10⁄49)
p(A ∩B)= 11⁄245

用D表示(A ∩B)，我们再次使用公式（1.5）：
p(D ∩C)=p(D) * p(C|D)
p(A ∩B∩C)=p(A∩B) * p(C|(A∩B))
p(A ∩B∩C)= (11⁄245) * (9⁄48)
p(A ∩B∩C)= 33⁄3920  ,  稍微小于1%.

事实上我们可以在所有情形下应用这些方法。这本书中，我们将使用这些属性来计算各种事件的概率。

（待续：概率分布）

作者: mlbvuuk 时间: 2012-10-24 02:48
留名啊有时间看

作者: dengxianqi 时间: 2012-10-25 15:34
本帖最后由 dengxianqi 于 2012-10-25 15:45 编辑

概率分布
虽然单一事件的概率很重要，但有很多情况下这还不足以充分对某一情形进行分析。很多时候，同时考虑多种不同的概率会变得很重要。我们可以根据一个事件的各种可能的结果以及各自的概率得到概率分布。
以一个理想硬币为例。抛这枚硬币的可能的结果只有两个，而且每个结果之间互斥且各自的概率均为1/2。我们可以以此形成一个抛硬币的概率分布：把每个结果与其发生概率配在一起，从而形成两个配对：（正面，1/2），（反面，1/2）。

设C为抛硬币结果的概率分布，则我们可以进行如下描述：
C = {(正面, 1⁄2), (反面, 1⁄2)}

同样的，抛一个六面的骰子的结果的概率分布可以描述如下：
D = {(1,1⁄6), (2,1⁄6), (3,  1⁄6), (4,  1⁄6), (5,  1⁄6), (6,  1⁄6)}

对于任何事件，我们都可以穷举所有的互斥结果然后让其与各自的发生概率配对，构造出一个离散的概率分布。
从而，我们可以为同一个事件构造出不同的概率分布。抛骰子的事件我们可以构造出另一个概率分布——奇偶分布：
D’ = {(奇数, 1⁄2), (偶数, 1⁄2)}

打扑克时，我们几乎永远都非常关心我们的对手拿着什么手牌。但是，我们几乎不可能使我们对对手手牌的估计缩减到特定的两张牌。相反，我们使用概率分布来表示对手可能的手牌以及他拿到每副手牌各自的概率。在一局牌开始时，还没人看过自己手牌的时候，每个玩家手牌的概率分布是一样的。然而，随着这手牌的进行，我们可以根据各种从牌局中获得的信息来不断的调整我们对对手每副可能的手牌的概率估计。那些信息包括：各人对这手牌的玩法、我们自己的手牌、桌面发出的牌、以及其他等等。

有时候，我们可以对概率分布的每个元素赋予一个数值。比如，设想一个朋友和你用一个理想硬币玩抛硬币游戏。赢家从输家那获得10元。这个抛硬币游戏的结果遵从我们早先时候识别出来的概率分布：
C = {(正面, 1⁄2), (反面, 1⁄2)}

因为我们知道这个硬币是“理想”的，即均匀的，所以不管谁来压注或压哪一面都无所谓。这样，我们为这个赌识别出了另一个概率分布：
C’ = {(赢, 1⁄2), (输, 1⁄2)}

我们可以进一步，给每个结果赋予一个数值。如果我们赢了，朋友给我们10元。如果我们输了，我们给朋友10元。由此得到下面的式子：
B = {(+$10, 1⁄2), (-$10, 1⁄2)}

当概率分布的每个可能的结果都被赋予了一个数值，我们就能计算出这个分布的“期望值 EV”。计算方法是把每个结果的数值乘上各自结果的发生概率，然后加总。在这本书中，我们将使用符号<X>来表示“X事件的期望值”。在这个案例中，我们有：
<B> = (1⁄2)(+$10)+(1⁄2)(-$10)
<B> = $5 + (-$5)
<B> = 0

这个结果是很显然的——如果我们抛一枚均匀硬币若干次，一半的时候我们会赢，一半的时候我们会输。次数一样，所以总体来说你会打平。同样，如果你的朋友不和你玩这个游戏，其期望值也是零，因为没有钱会被交换。

对于一个概率分布P来说，如果其所有的n个结果中，每个结果都有一个数值x_i以及其相应的概率p_i，那么P的期望值<P>则为：

[attach]2247[/attach]

玩扑克或者其他任何形式的赌博游戏的核心思想是，最大化期望值。在这个例子中，你的朋友给你提供了一个公平的赌博。平均来说，你玩与不玩这个抛硬币游戏，你的期望值没有变化。

现在，假设你朋友向你提供了一个不同的，或者说，更好的交易：同样的抛硬币，但如果你赢了，他付给你11元；如果你输了，你只需付给他10元。同样，不玩的EV是0，但是现在玩这个游戏的EV已经不再是0了。你赢的时候赢11元，输的时候输10元。这个赌给你的期望值是：
<B_n> = (1⁄2)(+$11)+(1⁄2)(-$11)
<B_n> = $0.50

平均来说，每抛一次硬币你将赢50分钱。当然，并不是铁定赢；而且事实上，在任何一次特定的抛硬币中，你不可能赢得50分钱。仅仅是总计来说，这个期望值数字才会存在。然而，这样做的话，平均来说玩一次比不玩会多赚50分钱。

再举一个例子。假设同一个朋友提供给你另一个交易：你抛一对骰子一次，如果抛出两个6点，他付给你30元，然而如果是其他的任何点数，你付给他1元。同样，我们可以计算一下这个交易的期望值。
<B_d> = (+$30)(1⁄36)+(-$1)(35⁄36)
<B_d> = $ 30⁄36- $  35⁄36
<B_d> = -$ 5⁄36 大概14分钱.

这个交易对你的价值大概是负14分。不玩的EV是0，所以这个交易很烂，你不应该玩。告诉你的朋友还是玩那个11-10的抛硬币游戏吧。值得注意的是，这个“双骰子”的赌戏遍布全世界。

期望值的一个十分重要的属性是其可加性，即，连续赌六次的期望值就是把每个单独的EV加总起来的值。绝大多数赌博游戏——事实上，一生中的绝大多数事情——都与之类似。我们不断的接受各种小的抛硬币交易或抛骰子交易——有的有正的期望值，其他的有负的期望值。有时候问题中的事件不是抛硬币或掷骰子，而是一张保险单或公募基金。拉斯维加斯的免费饮料以及霓虹灯，来自成千上万的抛硬币游戏的加总。而在每个游戏中，赌场都仅拥有一点点的优势。

通过使用概率分布来讨论扑克，我们经常会省略掉一些特定的概率。这么做意味着，那些手牌相应的概率与这手牌开始时相比没有发生变化。假设我们观察到一个非常紧的玩家加注了，并且我们根据经验可知，他仅仅在拿到一对A、一对K、一对Q或A-K的时候才加注。我们可以表示他的手牌分布如下：
H = {AA, KK, QQ, AKs, AKo}

把概率抹掉意味着这些手牌相应的概率与发牌时一样。当我们有多个分布需要考虑时也可以使用<X>符号。假设我们正在讨论一个这样的情形：两个玩家A及B的手牌遵从以下分布：
A = {AA, KK, QQ, JJ, AKo, AKs}
B = {AA,KK,QQ}

于是我们得到以下：
< A, B > : A玩家对上B玩家时的期望值.
< A, AA|B >    : A玩家的手牌对上B玩家手牌分布中的AA的期望值.
<AA| A, AA|B > : A玩家手牌分布中的AA对上B玩家手牌分布中的AA的期望值.
< A, B > = p(AA) < A, AA|B > +  p(KK) < A, KK|B > + p(QQ) < A,QO| B>  等.

另外，我们可以对一个分布中的元素进行一些基本的算术运算。例如，如果我们把一个分布中的所有结果的数值都乘以一个常量，那么这个新产生的分布的期望值等同于原分布的期望值乘以这个常量。同样的，如果我们把一个分布中的所有结果的数值都加上一个常量，那么这个新产生的分布的期望值也等同于原分布的期望值加上这个常量。

我们还需要花点时间来描述一下一个描述概率的常用方式，胜败比（odds）。胜败比定义为，事件发生的概率与事件不发生的概率之间的比值。胜败比通常可以简化成一些简便的形式，例如“7比5”，“3比2”，等。好的胜败比意味着事件更可能发生，差的胜败比意味着事件更可能不发生。通常，相应的手牌价值可以描述为：这手牌对上那手牌有7比3的领先成败比，也就是这手牌有70%的概率获胜。

比起概率，胜败比通常在数学计算上较为困难点，因为胜败比不能通过进行简单的结果相乘来表示期望值。真正的“赌徒”通常使用胜败比，因为胜败比简明的表达了他们的下注能得到多少倍的赔付。概率更多的是一个数学概念。使用数学工具的赌徒可能两种都会采用，但通常来说更加喜欢概率，因为根据概率能较为容易的计算出期望值。

关键概念
• 一个事件的其中一个结果发生的概率，相当于在对这个事件的大量重复试验下，这个结果发生的总次数与总试验次数的比值
• 概率分布是对一个事件的所有互斥结果配对上各自相应概率的列表
• （这一段我翻译不好，主要后半句没理解……）The expected value of a valued probability distribution is the sum of the probabilities of the outcomes times their probabilities.
• 期望值具有可加性。
• 如果一个概率分布的每个结果都对应了一个数值，这个分布的期望值就是每个输出与其相应概率乘积的加总。
• 玩扑克的数学方式最基本的要求就是要最大化期望值。

作者: dengxianqi 时间: 2012-11-30 17:47
第二章
预测未来：涨落及抽样结果

那些每个元素都被赋予了数值的概率分布具有两个特性，这两个特性共同描述了在重复试验中这个分布的大多数行为。第一个，在上一章中描述过的，是期望值。第二个是涨落，用来量度预期结果的离散程度的方法。大致上描述这两个特性，期望值用来衡量平均来说你将赢多少；涨落用来衡量某次特定试验的结果可能会偏离期望值多少。

考虑涨落时，我们试图构建出在多次试验后，试验结果会形成一个怎么样的范围。在很多领域里，人们对试验结果范围的关注，包括了平均值的两端。举个例子来说，在很多制造业里，存在一个可接受的区间，生产结果如果处于这个区间的两端之外都是不可接受的。在扑克里，一般都只关注涨落的单边，因为大多数玩家基本都不会关注超出期望值的盈利。事实上，“涨落”通常用来描述低于期望值的一端。

这个观点从某种方面来说是比较实际的，尤其是多于职业玩家来说。但是，这个观点造成了一个忽视积极结果的趋势，从而形成了如下假设：那些超出期望值的结果对于所存在的分布来说比实际更加具有代表性。统计的其中一个重要目的在于，当给定一系列初始条件时，找出某个特定的结果的发生概率——以及与之相反的过程，根据特定的结果推断初始条件。在扑克里，这两方面都被普遍应用着。在一系列初始条件下的结果分布，我们称之为“样本空间”，所观测到的结果我们称之为“抽样（样本）”。在扑克里，我们通常无法衡量样本空间里的所有元素，仅能通过观测抽样样本来满足我们的要求。

大多数的统计学课程或课本都会提供如下材料：概率，抽样方法，假想实验，相关系数，等。在分析扑克时，我们会经常使用概率的相关概念，并且有时会使用其他的统计学方法。接下来是对一些在分析扑克时很有用的统计学概念的一个快速浏览，尤其是在分析已观测到的结果方面。大多数相信是无关的内容已经被删去了。我们建议你就这些课题查阅统计学课本以获得更多的信息。

一个在扑克里总是被问的问题是：“我应该期望我的一次牌局有多大可能盈利？”换句话说，这个问题可表述成：“从我的所有牌局的样本空间中抽出一个样本，有多大可能性这个样本是大于零的？”回答这个问题的最简单直接的方法，是检验你的牌局的所有分布，加总那些结果大于0的数量。

不幸的是，我们无法获得这个分布——无论你从过去的牌局中搜集到了多少数据，你所得到的仅仅是一个样本。然而，假设我们从某种方法得到了你在这个牌局中每手牌的盈利期望值以及涨落，并且我们得知了你所关注的这个牌局会持续多长时间。那么，我们可以采用统计学的方法来估计你将在这个牌局盈利的可能性。这两个项目（期望值、涨落）的第一个（也称之为这个分布的平均值）我们已经熟悉了，在第一章中已经讨论过。

作者: ggyy1414 时间: 2013-7-27 08:51
lz还在翻译这书么？

作者: dengxianqi 时间: 2013-7-27 10:59

ggyy1414 发表于 2013-7-27 08:51
lz还在翻译这书么？

惭愧！我一直在偷懒……

作者: luckytvguy 时间: 2013-8-14 11:16
呵呵，大家都来捧捧场啊。必然激励一下。鼓掌！

作者: kendicek 时间: 2014-4-30 11:10
挖坟，楼主加油

作者: LUCKYWOOD 时间: 2015-6-22 23:07
楼主可以把电子英文版的发下么

作者: Payon 时间: 2015-7-8 09:42

dengxianqi 发表于 2013-7-27 10:59
惭愧！我一直在偷懒……

看完了版主三年前翻译的内容，不管是不是继续更新，还是特地注册感谢一下.

作者: xiaozhu88 时间: 2015-8-9 22:21
不小心又路过了……原来几年前，真的想不起来，我也路过这里！

作者: cwgjacky 时间: 2015-9-21 13:55
最近在看这本书的原版，实在是太难消化了，楼主如果能抽空继续翻译一下，实乃吾辈之大幸！
！

作者: Y@ngL 时间: 2015-9-21 15:41
说实话，这本《扑克数学》确实比较晦涩难懂，特别是英语不是很精通的人，更难理解，而读懂的人看懂就不错了，但还要翻译，工作量确实比较大，我曾尝试翻译了几章，后来因为太费事，特别是那些符号，打起来太费事，而且吃力不讨好，所以也放弃了，反正自己看懂就行了，除非有人投资赞助，否则这书是没人愿意尝试翻译下去的！

作者: daivdzou 时间: 2015-9-23 11:03
学习了，谢谢

作者: Leeer 时间: 2016-1-20 16:10
非常感谢！

作者: crazycat02 时间: 2017-3-21 11:48
楼主加油，新人报道，努力学习！！

作者: EvoLut1on 时间: 2017-3-21 18:13
楼主加油，翻译这种书真心不容易。

作者: jimmy9453 时间: 2019-4-23 15:58
感谢老铁分享，太实用了！

作者: k11;) 时间: 2024-8-22 10:29
太感谢啦！楼主你是我爹！

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