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标题: 概率问题请教 [打印本页]

作者: shfe 时间: 2012-8-27 20:48
标题: 概率问题请教
掷硬币游戏，掷64次为1局，请问：

1：1局中有5连正(连续5次为正面)的概率是多少？
2：1局中有2次5连正(连续10次正面算2次)的概率是多少？
3：连续8局都有5连正的概率是多少？
4：连续8局没有5连正的概率是多少？

麻烦会算的花费点时间帮我算算，非常感谢。

作者: Howard 时间: 2012-8-27 22:51
本帖最后由 Howard 于 2012-8-28 10:51 编辑

你这个题看似简单，其实很难。好在以前老墙出的一道题中，大家曾讨论过类似的问题。那个帖子叫做“一道纯概率题”，我在那贴的36楼给出了公式：http://zhiyoucheng.pushi8.com/fo ... 411&fromuid=636

根据该公式，连续64次投掷不出现5连正的计算方法是：5步Fibonacci数列的第66个数，除以2的64次方
5步Fibonacci数列的第66个数 = 6.49992E+18
2 ^ 64 = 1.84467E+19

所以，64次无五连正 6.49992E+18 / 1.84467E+19 = 35.23%

1. 第一问是64次出现5连正，那就是1 - 35.23% = 64.77%

有了这个结果，第三问和第四问都是显然的了
3. 连续8局都有5连正的概率：64.77%^8 = 3.097%
4：连续8局没有5连正的概率: 35.23%^8 = 0.0237%

第二问，64次投掷出现2次五连正，是比较麻烦的。根据我现有知识，我预计至少需要4个小时才能找到解法。没时间算了，等着看高人的吧

作者: shfe 时间: 2012-8-28 03:02

Howard 发表于 2012-8-27 22:51
你这个题看似简单，其实很难。好在以前老墙出的一道题中，大家曾讨论过类似的问题。那个帖子叫做“一道纯概 ...

谢谢火花的解答。

作者: cyylce 时间: 2012-8-28 17:05

这个用来做什么的？聪明的人知道赌场有类似的活动

作者: dfu2012 时间: 2012-8-28 19:51
本帖最后由 dfu2012 于 2012-8-28 21:38 编辑

我的通项式和火花兄的不一样，检查了好几次，还把通项式的结果和实际结果对照了一下，好像也没看出什么问题。

不知道有没有什么问题。我的解题逻辑和思路如下，不详细写了，主要是验证下结果：

令：N为抛掷硬币的次数，P（N,M）为抛掷N次连续M次硬币向上的几率。

1）当M=5时，则简写P(N）为抛掷N次连续5次硬币向上的几率。

我的通项式：  P(N)=1/2*P(N-1)+1/4*P(N-2)+1/8*P(N-3)+1/16*P(N-4)+1/32*P(N-5)+1/32  。

这个通项式用了两种方式推导，都是这结果，不知道哪里出问题了，写出来太长，不写了。

实际结果，P(5)=1/32, P(6)= 3/64,  P(7)=8/128， P(8)=20/256.

实际结果是我直接用AAAAA,BAAAA等数出来的，A代表硬币向上，B向下。

这个结果和公式计算的结果完全符合，公式的推导基于逻辑推导，推导过程没有借助实际结果的帮助。

P(9)根据上面的公式计算是：32/2^9，P(10)到P(64)可依次推出结果，。。。。

从裴波那契数列的值计算，似乎和我的结果又不一样，搞不懂了。不知道哪里出问题了，我再查查。火花兄能否将N=5---15的概率结果列出，我对照下。后面我再将实际结果用图演示并计算。

2）当M=2时，则简写P(N）为抛掷N次连续2次硬币向上的几率。

P(N)=1/2*P(N-1)+1/4*P(N-2)+1/4，这个和火花的公式似乎也不一样。

补充：对照火花的表，发现P(9)不一致，忘了加1/32，加上这个就是：48/2^9.  和火花的完全一致。

作者: shfe 时间: 2012-8-28 20:20

cyylce 发表于 2012-8-28 17:05
这个用来做什么的？聪明的人知道赌场有类似的活动

谢谢各位的解答和参与。

我所问的概率问题如能有正确答案，我将说出问此问题的缘由。可能会颠覆某些传统的观点。我想从科学的角度来看看一些几乎不可能发生的事件为什么会发生。

再请问一个相关的概率问题：
摸球游戏：容器中有1个红球和9999个白球，每次摸一个，然后放回去重新摸。
问：连续摸10000次，没有摸到红球的概率。

作者: dfu2012 时间: 2012-8-28 20:23
实际结果的图示：

令A表示硬币向上，B表示硬币向下。

1）当N=5时，
仅当： A A A A A 时，满足条件，P(5)=(1/2)^5

2)  当N=6时，

仅当： A A A A A A
         A A A A A B
         B A A A A A

条件成立，P(6) = 3*(1/2)^6

2)  当N=7 时，

仅当： A A A A A A A
         A A A A A A B
         A A A A A B A
         A A A A A B B

         B A A A A A B
         B A A A A A A
         B B A A A A A
         A B A A A A A


条件成立，P(7) = 8*(1/2)^7

2)  当N=8 时，

仅当： A A A A A A A A
         A A A A A A A B
         A A A A A A B A
         A A A A A A B B
         A A A A A B A A
         A A A A A B A B
         A A A A A B B A
         A A A A A B B B

         B A A A A A B A
         B A A A A A A A
         B B A A A A A A
         A B A A A A A A
         B A A A A A B B
         B A A A A A A B
         B B A A A A A B
         A B A A A A A B

         A B B A A A A A
         B A B A A A A A
         A A B A A A A A
         B B B A A A A A

条件成立，P(8) = 20*(1/2)^8

作者: Howard 时间: 2012-8-28 20:48
回dfu，

沿用你“P（N,M）为抛掷N次连续M次硬币向上的几率” 的说法，则有如下表格（M=5）：

N Fib5(N+2) 2^N 1-P(N,M) P(N,M)

-5 0
-4 0
-3 0
-2 0
-1 1
0 1
1 2 2 1 0
2 4 4 1 0
3 8 8 1 0
4 16 16 1 0
5 31 32 0.96875 0.03125
6 61 64 0.953125 0.046875
7 120 128 0.9375 0.0625
8 236 256 0.921875 0.078125
9 464 512 0.90625 0.09375
10 912 1024 0.890625 0.109375
11 1793 2048 0.875488281 0.124511719
12 3525 4096 0.860595703 0.139404297
13 6930 8192 0.845947266 0.154052734
14 13624 16384 0.831542969 0.168457031
15 26784 32768 0.817382813 0.182617188

其中P(5)=1/32, P(6)= 3/64, P(7)=8/128， P(8)=20/256 与德芙的通项公式计算结果完全一致。我相信德芙的公式是正确的。

dfu你实在是很厉害，这个公式总结的其实就是5步Fibonacci的变体。
注意两点：
1）我的2楼公式是N次中不出现M连正
2）你的公式正好是计算我的反面，也即 N次中至少出现一次M连正

作者: dfu2012 时间: 2012-8-28 21:10

Howard 发表于 2012-8-28 20:48
回dfu，

沿用你“P（N,M）为抛掷N次连续M次硬币向上的几率” 的说法，则有如下表格（M=5）：

没错，我算的是至少一次5连正。

殊途同归啊。

作者: dfu2012 时间: 2012-8-28 21:43
本帖最后由 dfu2012 于 2012-8-29 00:19 编辑

才发现，前面贴又算错一处，按火花的表，P(9)结果应该是48/2^9，原文我写的是32/2^9。

用公式 P(9)=1/2*P(8)+1/4*P(7)+1/8*P(6)+1/16*P(5)+1/32*P(4)+1/32, P(4)不存在做0处理。

原贴计算时漏加1/32，加上后刚好是48/2^9。

完全一致。

补充点：

刚看了老墙那贴，贴里的解法比我的干净简洁，尤其是：

把整个赛果切割成1-4的部分，得出

Pn=P(n-1)+P(n-2)+P(n-3)+P(n-4)，这里P的含义不是概率，对单一队伍是不连续赢5的所有组合数，任意输赢的组合总数是2^N。

非常的精彩。

而我的公式，逻辑推导非常的繁琐，理解上会更轻松，没那么抽象，但确实没有斐波那契这种解法来的漂亮。

再补充:

Pn=P(n-1)+P(n-2)+P(n-3)+P(n-4) 这个公式似乎不是5阶的，如果先只考虑一个队伍的不连续赢5，要把5连输的组合也考虑进去，那么整个逻辑要重新计算，那么1-4的组合切片逻辑就值得商榷。

不管怎么说，思路很新颖，逻辑上似乎有值得商榷的地方，还要仔细思考下。就本题而言，一枚硬币连续5次向上的几率，这种解法似乎不合适。

为什么说逻辑上有值得商榷的地方，因为分母2^N代表所有输赢组合数量，而贴里da兄把分子P(N)作为“Pn为n个单位能够分成若干部分（每部分长度1-4）的所有可能分法数”，这样分子和分母的逻辑含义不同了，出来的结果自然代表不了概率。
如果P(n)表示的是不连续赢5把的组合数量，我可以确定DA兄的逻辑是不成立的，即便最后的结果确实是斐波那契，但推导出这个结果的过程会有点繁琐，和我用概率法推导“硬币连续5次向上”的逻辑类似。

所以，似乎还是按传统的逻辑一步步来好一些。如果一步步分解，分解的过程有点繁琐，估计我能把不连赢5把的公式也表达成斐波那契的形式。

我的P(N)指的是概率，按传统的概率逻辑做的推导。这里的P(N)从公式看应该指的是满足条件即“不连赢5把”的组合数量，总的组合数量是2^N，那么概率结果就是P(n)/2^N,从这个角度入手，应该可以推出斐波那契。

作者: Howard 时间: 2012-8-29 00:44

shfe 发表于 2012-8-28 06:20
谢谢各位的解答和参与。

我所问的概率问题如能有正确答案，我将说出问此问题的缘由。可能会颠覆某些传统 ...

这个题太没劲了，比原题差远了。建议打回去重发。dfu兄只做有意思的题。

作者: Howard 时间: 2012-8-29 02:40
dfu兄，

Pn=P(n-1)+P(n-2)+P(n-3)+P(n-4) 是“n场分为若干长度为1～4区间”的总分法，是4步（4阶）斐波那契
2×Pn 是n场中两队均不出现5连胜（或巴萨既不出现5连胜也不出现5连败，或者硬币既不出现5连正也不5连反）的组合数
2×Pn/2^n 是概率
所以，两队均不出现5连胜的计算，要用到4阶斐波那契

而指定队N场不出现5连胜的概率是
（5阶斐波那契的第N+2个数）/ 2^N
用的是5阶斐波那契

计算球队连输连赢问题（硬币问题与此相同）：

n场巴萨不出现3连输概率是 F3(n+2)/2^n, 其中F3(n+2)表示3阶斐波那契数列的第n+2个数；
n场任一队均不出现3连输概率是2×F2(n+1)/2^n，其中F2(n+1）表示 2阶斐波那契数列（也就是普通斐波那契数列）的第n+1个数；

n场巴萨不出现4连输概率是 F4(n+2)/2^n, 其中F4(n+2)表示4阶斐波那契数列的第n+2个数；
n场任一队均不出现4连输概率是2×F3(n+1)/2^n，其中F3(n+1）表示 3阶斐波那契数列的第n+1个数；

n场巴萨不出现5连输概率是 F5(n+2)/2^n, 其中F5(n+2)表示5阶斐波那契数列的第n+2个数；
n场任一队均不出现5连输概率是2×F4(n+1)/2^n，其中F4(n+1）表示 4阶斐波那契数列的第n+1个数；

n场巴萨不出现m连输概率是 Fm(n+2)/2^n, 其中Fm(n+2)表示m阶斐波那契数列的第n+2个数；
n场任一队均不出现m连输概率是2×F[m-1](n+1)/2^n，其中F[m-1](n+1）表示 m-1阶斐波那契数列的第n+1个数；

回到墙的问题，238场任意一队不出现5连输：
n=238时，F4（n+1）= F4(239) = 3.84651E+67
2×F4(n+1)/2^n = 2*3.84651E+67 / 4.41712E+71 = 0.0174%

作者: dfu2012 时间: 2012-8-29 10:25
本帖最后由 dfu2012 于 2012-8-29 10:51 编辑

Howard 发表于 2012-8-29 02:40
dfu兄，

Pn=P(n-1)+P(n-2)+P(n-3)+P(n-4) 是“n场分为若干长度为1～4区间”的总分法，是4步（4阶）斐波那 ...

火花兄，我知道原来的题目是两队均不出现5连胜的计算。
两队不出现5连胜等价于一个队伍不出现5连胜除去5连输（及5连输以上的情况）的情况（是否能简单2P(N)我也不敢轻易认可，当然P(N)的定义完全不同，那么也能理解），甲队伍的5连输意味着乙队伍的5连胜，只需要考虑一个队伍的输赢即可，不需要2个队伍。

我不能赞同的是P(N)的逻辑定义，有两个问题。

1）分成1-4区间，这种构思非常的精巧，但在逻辑上的推演有很多考量的地方。

----------（此处删除前面错误的解读）------

补充：抱歉，前面的描述是我按P(N)为概率时的概念来质疑的。D兄的P(N-1)+P(N-2)+P(N-3)+P(N-4)的确是P(N)所有1-4区间分割的组合总数量。但是，即便如此，还是解释不了我的困惑。（惭愧，我按自己对P(N)的逻辑定义来理解，所以出了前面的笑话。我再仔细看看D兄的推理。）

2) 把P(N)定义成切割成1-4的区间数量，那么2^N也需要有相应的逻辑解释，我相信这个2^N应该指的不是总的输赢组合数量。一般，2^N指的是单一队伍总的输赢所有的排列组合，就是说输和赢在N场比赛总的排列组合数字是2^N，那么P(N)指的应该是不连胜的排列组合数量。当然，你也可以认为“n场分为若干长度为1～4区间”的总分法和这是等价的，但我觉得两者是不等价的，除非2^N并不是我理解的总的排列组合数字。

其实，定义P(N)是概率也好，或者组合数量也好，计算不连胜M场的概率（一个队伍的不连胜），最终的逻辑通式应该都是斐波那契。事实上，如定义P(N)为不连胜的组合数量，变换出标准的斐波那契表达式需要繁琐的步骤，这也是我觉得1-4区间分割法有疑问的地方。

以上是我的困惑，找个时间，我把P(N)按不连赢M把组合的定义下的通项式推导一次。可以确定的是通项式一定和P(N-1)---P(N-5)都相关。

作者: dfu2012 时间: 2012-8-29 11:00
本帖最后由 dfu2012 于 2012-8-29 12:40 编辑

补充点，关于2个队伍都不出现5连胜概率的计算：

甲乙队伍都不出现5连胜的概率= 甲队伍不出现5连胜或以上的概率并且甲队伍不出现5连输或以上的概率，

@@-----------------------------------------
----------------------------------------- 说明：@@---@@之间是思考的过程，结论（P*P）是错的，非常低级的错误，看了会糊涂，这段可略去不看。

令甲队伍不出现5连胜的概率等于P，由于每一场输赢的可能都是50%，那么甲队伍不出现5连输或以上的概率也等于P，

那么甲乙队伍都不出现5连胜的概率 = P*P.
P是指单一队伍不出现5连胜的概率。（这种情况包括了5连输甚至10连输及所有符合条件的可能。）

不知道我的这个理解有没有问题，在线写的很匆忙，没仔细想。

靠，前面这个结论是错的，两个事件并不独立，你中有我，我中有你。甲乙队伍都不出现5连胜的概率不能简单等于P*P。

惭愧，想多了就是容易错。还是严格按逻辑一步步推理的好。

这贴我犯了非常明显的低级的错误：甲乙队伍都不出现5连胜的概率= “甲队伍不出现5连胜或以上的概率并且甲队伍不出现5连输或以上的概率”这个定义很容易误导，主要是“甲队伍不出现5连输或以上的概率”包括了甲队伍5连赢及以上的概率。
------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------@@

现在脑子有点浆糊，再犯点错，

甲乙队伍都不出现5连胜的概率=1-“甲队伍5连胜或以上的概率”-“甲队伍5连输或以上的概率”=1-2*“甲队伍5连胜或以上的概率”，

即：甲乙队伍都不出现5连胜的概率= 1-2*“甲队伍5连胜或以上的概率”，

根据火花的公式：“甲队伍不5连胜或以上的概率“ = F5(n+2)/2^n，那么“甲队伍5连胜或以上的概率”=1-F5(n+2)/2^n，

那么甲乙队伍都不出现5连胜的概率 = 1-2*（1-F5(n+2)/2^n）=2*F5(n+2)/2^n-1 。

这个公式是否等价甲乙队伍都不出现5连胜的概率=2×F4(n+1)/2^n ？

即 F5(N+2)-F4(N+1)=2^(N-1) 是否成立？

当N=5时，F5(N+2)=31，F4(N+1)=15， 2^(5-1)= 16.

当 N=6 时，F5(N+2)=61，F4(N+1)=29， 2^(6-1)=32。

昏倒，两者居然是等价的，道歉，惭愧。

作者: dfu2012 时间: 2012-8-29 13:06
本帖最后由 dfu2012 于 2012-8-29 13:17 编辑

非常的惭愧，

令 “Pn=P(n-1)+P(n-2)+P(n-3)+P(n-4) ，P(N)定义为n场分为若干长度为1～4区间的总分法”，这个思路非常的精巧，分为1-4的区间后，对每个区间着色，甲连胜为红色，乙连胜为蓝色，每个区间必须是红蓝相隔的，不能出现红红或者蓝蓝的情况，原贴DA兄用奇偶来表示。

解释下为什么不能出现红红的情况，比如1连胜后面是2连胜，实际上就是3连胜，这个3连胜应该独立分为一个区间，除非后面出现一个输，那么另一个区间开始，而4连胜后如果接着又有1-4连胜，那么久不满足条件了。就是说连胜和连败必须是相隔的。

先是把整个N场比赛划分出1-4的区间，然后按题目的逻辑要求对每个区间着色，红代表甲赢，蓝代表乙赢（即甲输），两相隔区间的颜色一定是不同的。

实际上着色后的1-4的区间组合数量代表一方连胜1-4局或者连败1-4局（即对方连胜1-4局）的所有排列组合，如果把连胜着红色，连败着蓝色，那么整个N场比赛看上去一定是红蓝相间的一个图案。每一种可能的区间都有红开始和蓝开始2种情况，那么总的排列组合就是2P(N)。 2P(N)代表的就是所有一方
连胜1-4局或者连败1-4局（即对方连胜1-4局，也就是双方都没有5连胜的情况）的所有排列组合。

非常精巧的构思，火花和DA兄都得到其中的奥妙，前面我还困惑了许久，主要是从自己的角度去理解，我的推导也是严格按逻辑推导，很繁琐，以为都是按类似的逻辑做的，犯了先入为主的错误，惭愧，佩服。

我要是当老师就完蛋了，这么漂亮的解答，没看明白，一怒之下，给个0分，抹杀啊。不知道历史上有多少这么被抹杀的奇才。

作者: dfu2012 时间: 2012-8-29 19:49
本帖最后由 dfu2012 于 2012-8-29 20:07 编辑

刚用了原来用来解决“硬币抛掷5连上及以上”的逻辑，发现令P(N)为组合数量比令P(N)为概率的处理要简洁，现将此逻辑用来处理“硬币抛掷不出现5连上”的问题也非常的简洁。

问题：硬币抛掷N次，求不出现连续5次向上的概率。

将该P(N)个组合（或概率）分解为以下5种情况，硬币向上为A，向下为B,注意只有AAAAA+XXX的情形没有被分解，因为只有这种情况不满足问题的要求：

B + (N-1)个数的排列，       如果P(N)为组合数量，那么这种情况有P(N-1)个组合，如果P(N)是概率，这里的概率就是1/2*P(N-1)
A B  + (N-2)个数的排列，    如果P(N)为组合数量，那么这种情况有P(N-2)个组合，如果P(N)是概率，这里的概率就是1/4*P(N-2)
A A B  + (N-3)个数的排列，    如果P(N)为组合数量，那么这种情况有P(N-3)个组合，如果P(N)是概率，这里的概率就是1/8*P(N-3)
A A A B + (N-4) 个数的排列，如果P(N)为组合数量，那么这种情况有P(N-4)个组合，如果P(N)是概率，这里的概率就是1/16*P(N-4)
A A A A B + (N-5)个数的排列，  如果P(N)为组合数量，那么这种情况有P(N-5)个组合，如果P(N)是概率，这里的概率就是1/32*P(N-5)

当P(N)定义为组合数量的时候： P(N)=P(N-1)+P(N-2)+P(N-3)+P(N-4)+P(N-5), 由于整个组合数量是2^N,

因此不连续5次向上的概率 = (P(N-1)+P(N-2)+P(N-3)+P(N-4)+P(N-5)) / 2^N

当P(N)定义为概率的时候,P(N)就是不连续5次向上的概率： P(N)=1/2*P(N-1)+1/4*P(N-2)+1/8*P(N-3)+1/16*P(N-4)+1/32*P(N-5)
当处理5连赢时，也是这个逻辑，就是多了个1/32。

这个解法整理后写出来，突然发现也非常的简洁。我做的时候感觉繁琐，并且用了2种方法（分别是分解前面和分解后面），主要是怕出错，花了不少时间校验（因为P(N)的定义不同，解出来后发现和火花的结果似乎不一致，从上面的解题逻辑看，其实完全一致）。

作者: dfu2012 时间: 2012-8-30 14:17
本帖最后由 dfu2012 于 2012-8-30 14:35 编辑

接楼主的问题：
1局中有2次5连正(连续10次正面算2次)的概率是多少？

为计算方便，采用组合定义法。

p(N)定义为N次抛掷，至少一次5次连续向上或以上的组合数量，总数量是2^N。

我的答案是： F(N)=( P(n-5)+p(n-6)+p(n-7)+p(n-8)+p(n-9)+p(n-10) )/ 2^N.

注意我这里P(5)=1，P(6)=3, P(7)=8，P(8)=20，P(9)=48，P(10)=112，这里P(N)的定义还是用的至少一次5连上的组合数量，借用前面的结果推出。

F(10)=1/2^10，F(11)=4/2^11=1/2^9 ，F(12)=12/2^12=3/2^10.
从上面的数字可算出：

F(15)=(1+3+8+20+48+112)/2^15=192/2^15=0.58%

F(20) = 应该是(P(15)+P(14)+P(13)+P(12)+P(11)+P(10)) (刚才搞错F15和F20)

F(64)= ( P(59)+P(58)+P(57)+P(56)+P(55)+P(54) ) /2^64，计算P(59)有个小技巧，P(59)=2^59-PP(59),PP(59)对应的是火花斐波那契 5阶第59序号的值。

火花的PP(59)=221333601789363969（手工计算，无比繁琐辛苦。）

F(64)=(2^59+2^58+2^57+2^56+2^55+2^54-2PP(59))/2^64=（2^5+2^4+2^3+2^2+2+1）/2^10-PP(59)/2^63

F(64)=63/1024-PP(59)/2^63=0.0375=3.75%

出现2次5连胜的情况是3.75%。

之所以算这个，发现还有点参考意义，比如老墙那贴说的连续7天输为一个下风期，2个月发生一次。假如每天胜率是5:5的话，60天发生一个下风期的概率是多大？360天发生2个，或3个，或4个下风期各是多大？如果把胜率调整为53:47的话，结果如何变化。

如果胜率调整后，至少用概率定义P(N)可以解决这个问题。用组合数量定义法可能就不知道了，用概率定义的逻辑推理应用范畴似乎更广些。

花了很长时间做算术，主要是算斐波那契值，校验也花时间，怕搞错，也没仔细校验。

结果没校验，公式我觉得是不会错的，注意P(N)是连续5次向上的组合数量。

作者: 老陈 时间: 2012-9-1 00:15
本帖最后由老陈于 2012-8-31 12:54 编辑

shfe 发表于 2012-8-27 13:02
谢谢火花的解答。

第2题我计算了一下：
和你第1题的算法差不多：
F(64)=64.77%

第1个5连出现位置平均值应该是在第32次和第33次这间，那么计算第2个5连的概率就应该则中取
(F(33)+F(32))/2
（这里有可能产生一点误差，但不会太大）
F(33)=39.99%
F(32)=38.91%

一局出现2次5连的概率为:
F(64)*(F(33)+F(32))/2=25.54%
估计这个答案要比用公式直接推导出来的答案小一点点，原因是我取(F(32)+F(33))/2做为F(32.5)的近似值。F(32.5)是无法计算的，只好如此。

作者: Howard 时间: 2012-9-1 01:13
本帖最后由 Howard 于 2012-8-31 11:15 编辑

关于dfu 14楼的一段话：

现在脑子有点浆糊，再犯点错，
甲乙队伍都不出现5连胜的概率=1-“甲队伍5连胜或以上的概率”-“甲队伍5连输或以上的概率”=1-2*“甲队伍5连胜或以上的概率”，
即：甲乙队伍都不出现5连胜的概率= 1-2*“甲队伍5连胜或以上的概率”，
根据火花的公式：“甲队伍不5连胜或以上的概率“ = F5(n+2)/2^n，那么“甲队伍5连胜或以上的概率”=1-F5(n+2)/2^n，
那么甲乙队伍都不出现5连胜的概率 = 1-2*（1-F5(n+2)/2^n）=2*F5(n+2)/2^n-1 。

这个公式是否等价甲乙队伍都不出现5连胜的概率=2×F4(n+1)/2^n ？
即 F5(N+2)-F4(N+1)=2^(N-1) 是否成立？
当N=5时，F5(N+2)=31，F4(N+1)=15， 2^(5-1)= 16.
当 N=6 时，F5(N+2)=61，F4(N+1)=29， 2^(6-1)=32。

昏倒，两者居然是等价的，道歉，惭愧。

这段话很神奇。因为我初看之下觉得不对，但是dfu演算N=5和N=6，居然真的相等，我也很纳闷。后来算了其他的N，才发现N继续增大就不相等了。不等价。

甲乙队伍都不出现5连胜的概率=1-“甲队伍5连胜或以上的概率”-“甲队伍5连输或以上的概率”
这句话我就觉得不对。因为"“甲队伍5连胜或以上" 和 “甲队伍5连输或以上“ 不是互斥事件，所以直接减去两者是不行的。
（插一句：同时他们也不是独立事件，所以也不能靠相乘得出 ”甲队伍同时出现5连胜和5连输“）

但如果承认这个错误假设，后面dfu的推理我检验了没问题，就真的变成F5(N+2)-F4(N+1)=2^(N-1)是否成立。N=5和N=6居然真的成立。

我一怒之下，演算了若干个N

N F5(N+2) F4(N+1) F5(N+2)-F4(N+1) 2^(N-1)

2 4 2 2 2
3 8 4 4 4
4 16 8 8 8
5 31 15 16 16
6 61 29 32 32
7 120 56 64 64
8 236 108 128 128
9 464 208 256 256
10 912 401 511 512
11 1793 773 1020 1024
12 3525 1490 2035 2048
13 6930 2872 4058 4096
14 13624 5536 8088 8192

可见从N=2到N=9，二者都相等。直到N=10才出现511和512的差距。当然，后边是越差越大了。

现在dfu已经展现出强大的实力，想抓住他一个小疏忽越来越难，偶尔抓到了我忍不住赶快在他自己发现以前贴出来显摆显摆，哈哈

作者: 老陈 时间: 2012-9-1 01:37

shfe 发表于 2012-8-28 06:20
谢谢各位的解答和参与。

我所问的概率问题如能有正确答案，我将说出问此问题的缘由。可能会颠覆某些传统 ...

摸不到红球的概率为：
0.9999^10000=36.79%

作者: 老陈 时间: 2012-9-1 02:16
本帖最后由老陈于 2012-8-31 12:32 编辑

dfu2012 发表于 2012-8-30 00:17
接楼主的问题：
1局中有2次5连正(连续10次正面算2次)的概率是多少？

扔64次出现2次5连正的概率为3.75%。
扔5次都是正面的概率是3.125%。
公式推导和计算都太复杂，有的地方看不大懂，直觉上3.75%太小了。
分析一下：
假设把64次一分为二，分成两个32次。
扔32次出现5连的概率近40%。两部分都出现5连的概率近16%。不分出现2次的概率要比分开各出现1次的概率高很多。
我判断3.75%这个答案正确的可能性连10%都不到。

作者: dfu2012 时间: 2012-9-1 02:22

Howard 发表于 2012-9-1 01:13
关于dfu 14楼的一段话：

现在脑子有点浆糊，再犯点错，

惭愧，做股市那题时，用EXECL演算已经发现了问题。

很低级的错误，老陈又逮住一个（64局2个5连胜的概率），明天再看看，错哪里了。简单算了下，以32局为分界线，32局的5连胜几率好像不低，连续2个应该不会小于10%。

要睡了，明天看。

作者: dfu2012 时间: 2012-9-1 02:22
本帖最后由 dfu2012 于 2012-9-1 02:25 编辑

老陈发表于 2012-9-1 02:16
扔64次出现2次5连正的概率为3.75%。
扔5次都是正面的概率是3.125%。
公式推导和计算都太复杂，有的地方看 ...

可能哪里出了问题，明天再看看。

这类题，脑袋浆糊的时候很容易出错。最后的结果可能不复杂，但推演的过程不小心就出错。

作者: Howard 时间: 2012-9-1 03:36

dfu2012 发表于 2012-8-31 12:22
可能哪里出了问题，明天再看看。

这类题，脑袋浆糊的时候很容易出错。最后的结果可能不复杂，但推演的过 ...

跟德芙和老陈讨论数学问题真爽。数学带给人的美和乐趣，靠打牌是远远得不到的。

而且必须承认，我们其实讨论的数学没什么太高级的东东，都已经能爽成这个样。可以想象那些真正得到数学之美的人，天天都得跟他妈吸海洛因似的。

作者: Howard 时间: 2012-9-1 04:00

dfu2012 发表于 2012-8-29 05:49
刚用了原来用来解决“硬币抛掷5连上及以上”的逻辑，发现令P(N)为组合数量比令P(N)为概率的处理要简洁，现 ...

dfu兄第16楼的文字，我仔细研究学习，没发现任何有问题之处。而且把根据组合数和概率两种思路的思考融为一体，实在是高！看起来赏心悦目。谢谢！
接下来我研究一下你第17楼的。老陈已经指出结果很可能是有问题，我看看推理过程问题出在哪儿。

作者: 伟大的墙 时间: 2012-9-1 04:04

Howard 发表于 2012-9-1 03:36
跟德芙和老陈讨论数学问题真爽。数学带给人的美和乐趣，靠打牌是远远得不到的。

而且必须承认，我们其实 ...

你们探讨数学的乐趣，相当于我一个个回忆大学中学时各美女校花的乐趣。

这是我的一绝，同学到一块，总问我哪个班长什么样的叫啥名了，我从来都脱口而出，虽然过去将近20年了

1，同学问，数学系个子最高的美女叫啥，我反应时间0.1秒
韩梅
2，师大女足美女队长
马健
3，生物系第一美女
邱若伦
4，我的梦中情人
装晓
5，装晓何许人也
青岛1500米中学组冠军
6，装晓消失何处
美国某大学
7，北师大94年女子新生集体舞的伴奏曲
阿里山的姑娘

就这些破东西，我咋老也不忘呢，尤其是装晓

作者: Howard 时间: 2012-9-1 04:08
dfu第17楼的研究：

F(N)=( P(n-5)+p(n-6)+p(n-7)+p(n-8)+p(n-9)+p(n-10) )/ 2^N
此公式虽然dfu说 P(N)是 N次投掷至少出现一次五连正，但推理过程好像把P(N)当成有且仅有一次五连正了。

作者: Howard 时间: 2012-9-1 04:26
经过半小时研究，楼主的第二问我还是没有什么好的解决办法。只是发现了两个小问题

1. 智游城应该改进Google搜索结果，提高用户体验。
我搜索“硬币 5连正”，本帖会出现在结果的第二名，标题为“”概率问题请教- Powered by Discuz!“
我脚着吧，应该让标题改为：”概率问题请教- 智游城“
可能是某个设置需要改一下。

2. 老陈居然忍住了没用simulation作弊，真是奇迹

作者: 老陈 时间: 2012-9-1 06:50

Howard 发表于 2012-8-31 14:26
经过半小时研究，楼主的第二问我还是没有什么好的解决办法。只是发现了两个小问题

1. 智游城应该改进Googl ...

既然老霍说了我没有用模拟了作弊，看来还是老霍脑袋灵活，我竟然把拿手绝招给忘了，模拟用来作弊不太好，但用来检验不就又成了绝招了吗？哈哈。
我现在有事要出去，两个下时后回来模拟。

作者: 老陈 时间: 2012-9-1 08:45
挺快，一个小时就回来了。
在写程序之前贴一个网上发现的笑话，轻松一下。
考试中某学生拿出硬币，用扔硬币的方式得到了十道选择题答案。快结束时他突然又拿出来扔。监考师终于忍无可忍：“你在干什么？” 学生答：“我在验算。”.

老霍提醒了我模拟，这个学生提醒我验算，整合到一起，用模拟来验算。
开始写程序了。

作者: dfu2012 时间: 2012-9-1 09:04
本帖最后由 dfu2012 于 2012-9-1 09:55 编辑

取巧的事不能干。还得老老实实按基本定义来：

令 P10(N)为投掷N次，出现至少2次5连正或以上的概率，P5(N)为投掷N次，出现至少1次5连正或以上的概率。

则 P10(N)=1/2*P10(N-1)+1/4*P10(N-2)+1/8*P10(N-3)+1/16*P10(N-4)+1/32*P10(N-5)+1/32*P5(N-5)

P10(10)=1/32， P(11) =1/2^9，

这下可能不会错了吧，先放公式，再拿EXECL计算下，错的没什么信心了。

补下公式的逻辑图：

令A向上，B向下，P10(N)为至少2次5连正的几率，P5(N)为至少1次5连正的几率

B + P10(N-1) 。。。。。。。。。。。1/2*P10(N-1)
A B +P10(N-2) 。。。。。。。。。。。。1/4*P10(N-2)
A A B +P10(N-3)。。。。。。。。。。。。1/8*P10(N-3)
A A A B +P10(N-4)。。。。。。。。。。。1/16*P10(N-4)
A A A A B + P10(N-5)。。。。。。。。。 1/32*P10(N-5)
A A A A A +P5(N-5)。。。。。。。。。。 1/32*P5(N-5)

全部相加就是前面的公式。

作者: 老陈 时间: 2012-9-1 09:14
本帖最后由老陈于 2012-8-31 19:55 编辑

模拟程序写出来了。

   Dim NN As Integer = 63
      Dim NB(NN) As Integer
      Dim X As Double
      Dim I As Integer
      Dim J As Integer
      Dim K As Integer
      Dim N As Integer
      Dim MM As Integer = 20000000
      Randomize()
      N = 0
      For I = 1 To MM
         For J = 0 To NN
            X = Rnd()
            If X > 0.5 Then
                  NB(J) = 1
            Else
                  NB(J) = 0
            End If
         Next
         For J = 0 To NN - 4
            For K = 0 To 4
                  If NB(J + K) = 0 Then
                     GoTo NXJ
                  End If
            Next
            N = N + 1
            GoTo NXI
NXJ:
         Next
NXI:
      Next
      X = N / MM
      Me.Label1.Text = Format(X, "##.####%")

运行结果为：64.81%
这是扔64次硬币，只少出现1次5连正的概率。
与老霍的结果吻合，这说明我俩算的结果都对，程序没有BUG，只不过我计算的是近似值，有一定的误差。
对的应该一样，错的会千差万别。
休息一会，抽支烟，稍改一下就能计算：扔64次硬币，只少出现2次5连正的概率。

作者: dfu2012 时间: 2012-9-1 09:46
本帖最后由 dfu2012 于 2012-9-1 12:59 编辑

用EXECL算出来了，

至少1次2个5连正的概率P(64)=0.256232175

还好逼近了老陈的答案。

EXECL学会了是好东西，做这类计算真是利器。

作者: 老陈 时间: 2012-9-1 09:48
本帖最后由老陈于 2012-8-31 20:13 编辑

我靠，2个5连真够麻烦的，编程序也费劲，难怪老霍说难度大。
看来有些事不能想当然。
算一个5连正容易，算两个5连正难多了。处女第一次出轨难，第二次就容易多了。完全不是一个理。

程序写得结构不太好，用了好多GOTO语句，着急，也没必要优化，能实现就行了，请软件高手不要笑话。

Dim NN As Integer = 63
      Dim NB(NN) As Integer
      Dim X As Double
      Dim I As Integer
      Dim J As Integer
      Dim K As Integer
      Dim L As Integer
      Dim N As Integer
      Dim MM As Integer = 20000000
      Randomize()
      N = 0
      For I = 1 To MM
         For J = 0 To NN
            X = Rnd()
            If X > 0.5 Then
                  NB(J) = 1
            Else
                  NB(J) = 0
            End If
         Next
         J = -1
NXJ:
         J = J + 1
         If J + 4 > NN Then GoTo NXI
         For K = 0 To 4
            If NB(J + K) = 0 Then
                  GoTo NXJ
            End If
         Next
         J = J + 4
NXJ2:
         J = J + 1
         If J + 4 > NN Then GoTo NXI
         For K = 0 To 4
            If NB(J + K) = 0 Then
                  GoTo NXJ2
            End If
         Next
         N = N + 1
NXI:
      Next
      X = N / MM
      Me.Label1.Text = Format(X, "##.####%")

运行结果为：25.55%
这是扔64次硬币，只少出现2次5连正的概率。
我在18楼的计算结果与这个结果吻合，这个结果是近似值，有一定的误差。

两次计算结果基本一样，应该对了。
但我又忽然怀疑起自己了，是不是都错了。
18楼的算法不严谨。
只少出现2次5连正的概率=F(64)*F(32.5)
按照这个方法往前推。
只少出现3次5连正的概率=F(64)*F(32.5)*F(16.5)
只少出现4次5连正的概率=F(64)*F(32.5)*F(16.5)*F(8.5)
只少出现5次5连正的概率=F(64)*F(32.5)*F(16.5)*F(8.5)*F(4.5)

只少出现5次5连正的概率肯定不是0。
最后一行F(4.5)，这不是扯蛋吗？
我也晕了。

请问shfe，你整这么难的题，是不是存心想把我们都整晕啊?

还好，你出的题要是出现5次5连正概率，那就不只是把我们整晕了，一定把我们整疯了。

作者: dfu2012 时间: 2012-9-1 10:14
本帖最后由 dfu2012 于 2012-9-1 10:23 编辑

老陈，我这有一串用31楼公式在EXECL里算出来的数字，刚好做个相互验证。
现在错怕了。

10 # # # # 0.000977
11 # # # # 0.001953
12 # # # # 0.003174
13 # # # # 0.004639
14 # # # # 0.006348
15 # # # # 0.008301
16 # # # # 0.010468
17 # # # # 0.012848
18 # # # # 0.015434
19 # # # # 0.018219
20 # # # # 0.021194
21 # # # # 0.024353
22 # # # # 0.027688
23 # # # # 0.031192
24 # # # # 0.034858
25 # # # # 0.038681
26 # # # # 0.042653
27 # # # # 0.046769
28 # # # # 0.051022
29 # # # # 0.055406
30 # # # # 0.059916
31 # # # # 0.064547
32 # # # # 0.069292
33 # # # # 0.074147
34 # # # # 0.079106
35 # # # # 0.084165
36 # # # # 0.089319
37 # # # # 0.094563
38 # # # # 0.099892
39 # # # # 0.105302
40 # # # # 0.110788
41 # # # # 0.116348
42 # # # # 0.121975
43 # # # # 0.127667
44 # # # # 0.13342
45 # # # # 0.13923
46 # # # # 0.145094
47 # # # # 0.151007
48 # # # # 0.156966
49 # # # # 0.162969
50 # # # # 0.169012
51 # # # # 0.175091
52 # # # # 0.181205
53 # # # # 0.187349
54 # # # # 0.193522
55 # # # # 0.19972
56 # # # # 0.20594
57 # # # # 0.212181
58 # # # # 0.21844
59 # # # # 0.224714
60 # # # # 0.231
61 # # # # 0.237298
62 # # # # 0.243603
63 # # # # 0.249916
64 # # # # 0.256232

作者: 老陈 时间: 2012-9-1 12:18
本帖最后由老陈于 2012-8-31 22:29 编辑

我核对了全部数据，全部吻合。
今天不知犯了啥毛病，怀疑别人，又怀疑自己，又怀疑别人。
你的计算结果与我的模拟结果的误差有一定规律，绝大部分是你的小一点点，当然我的不是精确值，但误差应该是有时你数值的大，有时我数值的大才正常，我的数大的超过80%就不正常了，但误差大部分都在0.02%左右，建议dfu是不是检查一下可能引起下误差的因素，比如边界什么的，总之这题让人晕。不查也无妨，本来就是一个概率问题。有一点可以确定，最正确的答案就在咱们的结果附近。

作者: dfu2012 时间: 2012-9-1 12:41
本帖最后由 dfu2012 于 2012-9-1 14:42 编辑

整体的解题逻辑我是这么考虑的，A代表硬币向上，B代表硬币向下。任意一个N长度的硬币投掷结果序列可分解为：(A+X)的序列+(B+X)的序列，B起头的序列简单考虑P(N-1)的情况即可，而A+X的情况要再分解，（A+X)的序列可分解为：（AB+X)的序列 + （AA +X)的序列，同样（AB+X)的序列简单考虑P(N-2)的情况即可，（AA +X)的情况要再分解，一直到分解出(AAAAB+X)和（AAAAA+X)这两种序列，到这里5连上的所有序列都分解完成。
分解图如下，其实用树状图表示更清晰，不好画。

                                       B XXXX
                                       A B XXXX
                                       A A B xxx
                                       A A A B XXX
                                       A A A A B XXX
                                       A A A A A XXXX

那么2连5公式P10(N)如下，用到1连5公式P5(N-5)：

P10(N)=1/2*P10(N-1)+1/4*P10(N-2)+1/8*P10(N-3)+1/16*P10(N-4)+1/32*P10(N-5)+1/32*P5(N-5)

同理3连5公式P15(N)用到2连5公式P10(N-5)：

P15(N)=1/2*P15(N-1)+1/4*P15(N-2)+1/8*P15(N-3)+1/16*P15(N-4)+1/32*P15(N-5)+1/32*P10(N-5)

同上逻辑，5连5用到4连5,4连5用到3连5：

用EXCEL计算，EXCEL解决这类问题特方便。

2连F10(64)=0.256232175，投掷64次硬币，有2个5连上的几率是25.62%

3连F15(64)=0.065010273，投掷64次硬币，有3个5连上的几率是6.501%

4连F20(64)=0.011011617，投掷64次硬币，有4个5连上的几率是1.101%

5连F25(64)=0.001270918，投掷64次硬币，有5个5连上的几率是0.127%

作者: luckypanda 时间: 2012-9-1 12:43
你们太坏了，我很想仔细看每个回贴，但越看就越觉得自己象个文盲。

作者: dfu2012 时间: 2012-9-1 14:23
本帖最后由 dfu2012 于 2012-9-1 14:39 编辑

老陈发表于 2012-9-1 12:18
我核对了全部数据，全部吻合。
今天不知犯了啥毛病，怀疑别人，又怀疑自己，又怀疑别人。
你的计算结果与我 ...

我感觉可能是精度问题，会不会是样本不够？2^64个数量的组合可是天文数字啊。

我的数据结果全部是根据下面的公式计算，借用了EXCEL的技巧，如果公式的逻辑没有错的话，数据应该会非常精确（和EXCEL的计算精度相关）。

1连5的解题逻辑采用概率法，没有借用火花的斐波那契数值，全部都直接用概率公式计算，而2连5以上的逻辑和1连5也是一样的。

1连胜公式：P5(N)=1/2*P5(N-1)+1/4*P5(N-2)+1/8*P5(N-3)+1/16*P5(N-4)+1/32*P5(N-5)+1/32

2连胜公式：P10(N)=1/2*P10(N-1)+1/4*P10(N-2)+1/8*P10(N-3)+1/16*P10(N-4)+1/32*P10(N-5)+1/32*P5(N-5)

下面贴出更多的值共102个值，可相互印证下，1个5连胜用概率法算的结果=0.647638847，应该和你们的一样，特意印证了一遍。时间一长，我脑子就会浆糊，好在没什么紧要事做，如果是打大一点金额的德州扑克，休息是第一位的。

脑子已经迷糊了，反复计算验证了几次，EXCEL里复制黏贴经常容易出错，有一次把分子32搞错成20，好在有前面计算的数据，好半天才找出原因。

序号 1个5连胜          2个5连胜          3个5连胜
1 0          0               0
2 0          0               0
3 0          0               0
4 0          0               0
5 0.03125 0
6 0.046875 0
7 0.0625                0          0
8 0.078125    0          0
9 0.09375 0          0
10 0.109375    0.000976563 0
11 0.124511719 0.001953125 0
12 0.139404297 0.003173828 0
13 0.154052734 0.004638672 0
14 0.168457031 0.006347656 0
15 0.182617188 0.008300781 3.05176E-05
16 0.196533203 0.010467529 7.62939E-05
17 0.210212708 0.0128479 0.000144958
18 0.223659515 0.015434265 0.000240326
19 0.236877441 0.018218994 0.000366211
20 0.2498703 0.021194458 0.000526428
21 0.262641907 0.024353027 0.000723362
22 0.275196075 0.027687788 0.000960112
23 0.287536502 0.031191826 0.001239419
24 0.299666822 0.034858406 0.001563847
25 0.311590612 0.038680971 0.00193578
26 0.323311388 0.042653143 0.002357423
27 0.334832609 0.046768725 0.002830848
28 0.34615767 0.05102168 0.003357969
29 0.357289912 0.055406138 0.003940556
30 0.368232618 0.059916388 0.004580239
31 0.378989015 0.064546876 0.005278513
32 0.389562274 0.069292199 0.006036745
33 0.399955515 0.074147105 0.00685618
34 0.410171801 0.079106488 0.007737939
35 0.420214146 0.084165381 0.008683034
36 0.430085512 0.08931896 0.009692364
37 0.439788808 0.094562532 0.010766724
38 0.449326898 0.099891541 0.011906806
39 0.458702593 0.105301556 0.013113208
40 0.467918658 0.110788275 0.014386432
41 0.476977812 0.116347517 0.015726893
42 0.485882726 0.121975223 0.01713492
43 0.494636026 0.127667449 0.018610761
44 0.503240293 0.133420367 0.020154585
45 0.511698065 0.13923026 0.021766488
46 0.520011836 0.145093521 0.023446493
47 0.528184058 0.151006648 0.025194556
48 0.53621714 0.156966243 0.027010568
49 0.544113453 0.16296901 0.028894358
50 0.551875323 0.169011752 0.030845695
51 0.559505041 0.175091367 0.032864293
52 0.567004856 0.181204847 0.034949813
53 0.57437698 0.187349278 0.037101864
54 0.581623587 0.193521833 0.039320008
55 0.588746814 0.199719774 0.04160376
56 0.595748762 0.205940446 0.043952593
57 0.602631496 0.212181279 0.046365937
58 0.609397045 0.218439783 0.048843186
59 0.616047405 0.224713547 0.051383694
60 0.622584536 0.231000238 0.053986783
61 0.629010367 0.237297596 0.056651742
62 0.635326793 0.243603436 0.059377828
63 0.641535676 0.249915644 0.062164271
64 0.647638847 0.256232175 0.065010273
65 0.653638106 0.262551052 0.067915011
66 0.659535223 0.268870364 0.070877639
67 0.665331936 0.275188265 0.073897287
68 0.671029955 0.28150297 0.076973069
69 0.67663096 0.287812757 0.080104076
70 0.682136603 0.294115963 0.083289383
71 0.687548508 0.300410983 0.08652805
72 0.69286827 0.306696269 0.08981912
73 0.698097458 0.312970327 0.093161626
74 0.703237615 0.319231717 0.096554587
75 0.708290256 0.325479053 0.09999701
76 0.713256872 0.331710997 0.103487895
77 0.718138927 0.337926264 0.107026231
78 0.72293786 0.344123613 0.110611001
79 0.727655087 0.350301855 0.11424118
80 0.732291999 0.356459842 0.11791574
81 0.736849964 0.362596474 0.121633645
82 0.741330325 0.368710692 0.125393858
83 0.745734405 0.374801482 0.129195338
84 0.750063501 0.380867868 0.133037043
85 0.75431889 0.386908915 0.136917928
86 0.758501827 0.392923729 0.140836949
87 0.762613547 0.398911451 0.144793063
88 0.76665526 0.404871261 0.148785225
89 0.77062816 0.410802372 0.152812396
90 0.774533418 0.416704034 0.156873535
91 0.778372185 0.422575532 0.160967607
92 0.782145594 0.428416181 0.16509358
93 0.785854758 0.43422533 0.169250424
94 0.789500769 0.440002358 0.173437115
95 0.793084704 0.445746675 0.177652635
96 0.79660762 0.451457721 0.181895971
97 0.800070554 0.457134963 0.186166115
98 0.803474529 0.462777896 0.190462067
99 0.806820549 0.468386044 0.194782832
100 0.810109599 0.473958954 0.199127424
101 0.813342651 0.479496202 0.203494863
102 0.816520657 0.484997386 0.207884179

作者: dfu2012 时间: 2012-9-1 18:31

老陈发表于 2012-9-1 12:18
我核对了全部数据，全部吻合。
今天不知犯了啥毛病，怀疑别人，又怀疑自己，又怀疑别人。
你的计算结果与我 ...

老陈，我的数据结果全部是用公式顺序用EXCEL自动算出来的，只要知道初始的6个值（前5个是0，另一个一般都是1/2^K，比如1个5连的F5(5)就是1/2^5 。。）,后面所有的值都可以用公式和这6个值推出来。非常的方便，EXCEL好像就是为解决这类问题设计的，COPY,PASTE，非常迅速。验错也比较简单，直接找任意序号的6个2连或3连的概率值，看他们是否和公式相符合即可。

你的程序我也看了，我看不出什么问题，唯一的可能是样本值不够多，200000000不够的话再多10倍，不过这似乎关联也不大。

你的疑问让我想到另一个话题：

假如我的结果是100%标准（纯理论计算）的随机硬币产生的数据，你的计算结果和我的值相较有80%数据偏向更大，这再正常不过了，因为你的模拟发生器不可能是真正的100%随机发生器，必然是有偏向的。先别笑话这个结论，世界上永远有“聪明人”会利用这极其细小的偏差。

比如你的结果总的来看都偏大一些，那么可能你的硬币向上的几率可能会比向下的几率稍微大一丁点儿，那可能你的随机发生器是一个偏向正面的随机发生器，比如50.0000001:49.9999999，当胜率有多大的比例能影响到最终的结果偏差在0.2%以上，这个就得进一步的计算了，然后就是如何利用这微小的胜率优势，当然，这么小的偏差可能连赌场的RAKE都对付不了。

世界上没有100%的随机发生器，除了理论上的计算。在赌场里，对于有机械装置参与的随机发生器，比如轨道旧了，零件旧了，温度高了，等等，具体内部的细节不重要，关键是从那些随机的数据中分析出可能的胜率偏差，如果数据的表现不符合理论上随机计算的结果，那么就有可能有胜率偏差（即不是100%均匀硬币）如果这种胜率偏差足够应付RAKE的话，那么。。。

瞎扯扯了，图个乐。

作者: 老陈 时间: 2012-9-2 00:17
本帖最后由老陈于 2012-9-1 10:21 编辑

结果差不多。

作者: 老陈 时间: 2012-9-2 00:20

dfu2012 发表于 2012-9-1 04:31
老陈，我的数据结果全部是用公式顺序用EXCEL自动算出来的，只要知道初始的6个值（前5个是0，另一个一般都 ...

我只是提个醒，真要是在某个非常重要地方应用这些数据，我当然要用你的数据，我的模拟是近似值。我也不想把样本再提高10倍，现在算一个数据大约需要2分钟，再提高10倍我就等不起，程序也没啥优化的余地，CPU虽然是目前普通台式机上最快的，但也就这大能水了。你说的随机数问题是一个方面，别外程序里有一个“>0.5”的判断语句，随机数真的出现0.5也会产生误差，说正面不对，说反面也不对，我算出的结果就是个大概，但不离谱，不再费劲了。无论怎么说，很难的题解出来了，还是比较爽。

作者: dfu2012 时间: 2012-9-2 23:59
这个帖子我犯的错误其实很多，不是老陈和火花指出来，那些错误就一直晾晒在那里。尤其是老陈指出的2个连5的概率，怎么算也不可能是我算的那么低的概率吧。火花指出的那些错误又都是很低级的错误。前面还怀疑过DA兄的算法（其实是很精巧的思路），惭愧的地方太多了。

第一次算2连5出那么大的错误，其实就是想借用1连5现成的数据，之前我手工用笔记本的计算器把斐波那契的64个值都保存在一个文本文件里，花了很长时间做的，还用了不少计算器COPY,PASRE的技巧。

所以我的思路从一开始就掉入了利用现成的1个5连上现成数据的陷阱。结果得出了错误的公式，火花和老陈指出问题后，我马上发现公式有问题，最终发现仅用5连胜的函数解决不了问题，得老老实实从最原始的来，重新定义了2个5连函数后，整个公式马上就很干净了。但是，怎么迅速的得到结果？

之前为了算火花的题，我开始学EXCEL，还特意摆弄了半天INDEX,VLOOKUP等公式函数，发现解决不了问题，就想用宏，结果我的EXCEL好像没有宏编程功能（以前也没用过），总之我就不会用。其实花时间折腾EXCEL的时间最多，功夫不负有心人，就在我要放弃的时候，神奇的发现，直接用COPY/PASTE功能把公式按每个单元格复制，里面的参数会自动调整，根本就不需要函数调用，变量什么的，总之就是很简单，鼠标一拉结果全部出来，简单到不相信。

然后这个题的结果就出来了。再算3连，4连甚至5-10连都简单了，不过做的过程非常的辛苦，错一个小地方，全部都错，很容易怀疑，又很容易自信。

老陈的做事风格其实我是很佩服的，他找的方法总是准确有效，他的数据放那里，肯定是反复验证过的，我就比较放心，其实德州扑克里老陈的心得我经常学习，遗憾的是老陈说的太少。我自己，总是“意识流”的风格，思路到哪里，就写到哪，对错都不管了。

一写，话就比较多，大家多多包涵。

作者: 小朱 时间: 2012-9-9 02:56
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