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标题: 数学归纳法 [打印本页]
作者: 老陈 时间: 2018-8-6 22:24
标题: 数学归纳法
本帖最后由 老陈 于 2018-8-6 08:27 编辑
中学时老师教数学归纳法。方法是这样的：如果某个结论在n=1时成立，假设n=k时成立，可以得出n=k+1时也成立，那么这个结论对所有的自然数都成立。老师给我们证明了几个公式，全班多数同学都学会了这种方法。也有少数几个同学不会，其中一个名叫李国军，向老师说，我认为这个方法根本不行，我可以举例说明。李国军说，老师你是一个大美女，这是全校公认的，从你的头上拔下一根头发，你不会变成秃子，假设在你头上拔下k跟头发你仍然不是秃子，可以得出拔k+1根头发你仍然不是秃子，由此得出把你的头发拔光你仍然不是秃子。显然数学归纳法是荒谬的。
作者: AKsReid 时间: 2018-8-7 14:11
“假设在你头上拔下k跟头发你仍然不是秃子，可以得出拔k+1根头发你仍然不是秃子”
然而在假设拔下K根头发的情况下，并不能用数学方法推理出对于K+1仍然成立，李国军同学给出的论据不成立。至少他尝试证明数学归纳法错误失败了。
作者: 老陈 时间: 2018-8-7 20:24
AKsReid 发表于 2018-8-7 00:11
“假设在你头上拔下k跟头发你仍然不是秃子，可以得出拔k+1根头发你仍然不是秃子”
然而在假设拔下K根头发的 ...
假如拔掉了K跟头发老师不是秃子，再拔掉一根显然老师仍然不是秃子，为什么要用数学方法推理呢？
作者: AKsReid 时间: 2018-8-7 22:02
首先，请定义什么是秃子。
其次再证明K成立的情况下，K+1也成立。
假定秃子定义为头发密度小于等于y，老师头发总量为x。
设老师头发不秃在n=k时成立，有 x-k>xy,
然而并不能推导出x-(k+1)>xy。故原文中的“显然”不成立。
作者: 老陈 时间: 2018-8-7 22:57
AKsReid 发表于 2018-8-7 08:02
首先，请定义什么是秃子。
其次再证明K成立的情况下，K+1也成立。
假定秃子定义为头发密度小于等于y，老 ...
没有必要用数学方法定义秃子，秃子就是秃子，没上过一天学的人都知道什么叫秃子。如果甲不是秃子，乙比甲少一根头发，那么乙一定不是秃子。秃子和不是秃子头发肯定差很多。
作者: AKsReid 时间: 2018-8-8 08:01
问题或者说诡辩术就在这里呀
。
没有定义秃子，所以利用定义含糊来做一个推断，不符合数学归纳法要求。
作者: daniel 时间: 2018-8-8 10:23
假设在你头上拔下k跟头发你仍然不是秃子，可以得出拔k+1根头发你仍然不是秃子
头上头发是已知的，所以这个假设K是不成立的，换成这样，全宇宙生命身上的毛发（全宇宙有多少生命是未知）
作者: 榆木脑袋 时间: 2018-8-8 10:55
数学归纳法说的是这个K要是任意一个正整数都需要成立 也就是说你需要拔掉任意K根头发都不是秃子 这个的前提是你的头发数量需要大于任意一个正整数 那么在这种情况下你确实可以认为拔掉k+1根头发还不是秃子
回到这个问题的现实情况来说 由于一个人的头发数量是有限的 你总能找到一个临界点 拔掉K根头发后只剩一根头发 但是再拔一根就秃了 所以你不能证明对于任意K成立时 k+1也同样成立
要理解数学归纳法，一定要知道这个是对于任意K都要成立，而不是对于一个特殊的K成立
作者: 老陈 时间: 2018-8-8 11:37
本帖最后由 老陈 于 2018-8-7 22:11 编辑
榆木脑袋 发表于 2018-8-7 20:55
数学归纳法说的是这个K要是任意一个正整数都需要成立 也就是说你需要拔掉任意K根头发都不是秃子 这个的前提 ...
如果任意K都成立，那还证明啥呀？
作者: 榆木脑袋 时间: 2018-8-8 14:02
我可能没说清楚 我的意思是数学归纳法的定义是 你对于任意一个K 假设N=K结论成立 都可以推出N=K+1的时候成立 那么你就可以证明这个假设对于所有正整数都成立
回到你这个问题的本质是 在头发数量有限的情况下 总存在一个数值 当N=K时 你还有一根头发 N=k+1你就是秃子了 所以推论不成立 并不是说假设有问题 而是从假设开始得出的推论不对
作者: 老陈 时间: 2018-8-8 14:11
本帖最后由 老陈 于 2018-8-8 00:18 编辑
如果某人只有一根头发，这个人也是秃子吧？
也就是说，当N=K+1时这个人是秃子，那么当N=K时这个人已经是秃子了。不可能因为多拔掉一根头发而变成秃子。
作者: 榆木脑袋 时间: 2018-8-8 15:08
你这么说 就已经不是数学问题了 你要说一个数学问题 就一定要有个清晰的定义 到底多少根头发算秃子 你定义清楚这个 才能继续讨论 把这个问题的定义用数学公式表达出来 才能用数学的方法来解决
作者: 老陈 时间: 2018-8-8 15:19
榆木脑袋 发表于 2018-8-8 01:08
你这么说 就已经不是数学问题了 你要说一个数学问题 就一定要有个清晰的定义 到底多少根头发算秃子 你定 ...
再给出一个定义就不是秃子了，必须用另外的一个词来表示。我们说的秃子就是人们心目中的秃子，已经不可能再更清晰了。
作者: 001596 时间: 2018-8-9 03:53
然而“秃子”这个定义本身就是模糊的。人并不是严格的分成两类，“秃”和“不秃”。
我们假设有一个描述“秃”的程度值，0是“秃”，1是“不秃”，称之为“秃”值。并不是说每个人的“秃”值是0或1中的一个。很多人的“秃”值是在0到1之间的。所以在你拔头发的过程中，人的“秃”值不断下降，就渐渐的从“不秃”变成“秃”了。
那这个和数学归纳法有什么关系呢？首先就是并不能从“拔了k根头发后人是不秃的”，推出来“拔了k+1根头发之后人是不秃的”。能做到的是，从“拔了k根头发后人的秃值是Tk”，“拔了k根头发后人的秃值是Tk+1”，其中Tk+1 < Tk。也就是说，最后能证明的是，随着不断的拔头发，人的秃值是不断下降的。这个和我们观察到的现象也是一致的。
作者: 老陈 时间: 2018-8-9 05:45
本帖最后由 老陈 于 2018-8-8 15:48 编辑
001596 发表于 2018-8-8 13:53
然而“秃子”这个定义本身就是模糊的。人并不是严格的分成两类，“秃”和“不秃”。
我们假设有一个描述“ ...
这种解释完全正确。世界上许多事物都可以这样解释，比如稻谷的产量，灯光的亮度，收入的高低，富有与贫穷等等。
作者: AKsReid 时间: 2018-8-9 13:04
问题就出在这里啊，
秃子的定义不明确，把自己也绕进去了。
大家都知道什么是秃子，我属于大家，我认为有一根头发就不算秃子，故他说的没问题。
作者: 阿生生 时间: 2018-11-20 08:40
陈哥你好。我很喜欢你这个问题。我还找了数学归纳法和模糊数学的的视频来看。也试着推导数学公式，活动脑子嘛。
例：1+3+5+.......+(2n-1)=n^2 当n=全体自然数时
若n=1 左边=1 右边n^2=1
若n=k 1+3+5+.......+(2k-1)=k^2 成立
若n=k+1 1+3+5+.......(2k-1)+[2（k+1）-1]
=k^2+2k+1
=(k+1)^2 也成立
我有一个胖子朋友，2个月前他180斤，我印象中我朋友就是胖子，180斤的那个胖子是我朋友。
前几天我见到他只有100斤，。100斤那家伙我不认识他。可是我模糊中
无论那人几斤他都是我朋友。我也认出他来了。
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