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标题: 出道题：KQJ 之No Limit局 [打印本页]

作者: Howard 时间: 2012-6-22 08:55
标题: 出道题：KQJ 之No Limit局
本帖最后由 Howard 于 2012-6-22 08:56 编辑

不是NoLimit Holdem，是个玩具对局。
甲乙二人heads up，牌敦中只有三张牌：K、Q、J。大小为：K>Q>J

底锅为1，无盲注。有效筹码足够深。每人随机发一张牌。

乙是进攻者，他可选择check/bet，bet量自定（为讨论方便，回帖请用b代表bet量）。甲是防守者，如果乙check，他只能check；如果乙bet，他只能fold/call。没有raise。

现在假设乙决定value bet量和bluff量相等都是b，
问题：乙的最佳bet量b是多大？

--------------------------
提示：
1）本问题有一定难度
2）看过我《扑克的本质笔记》一帖的朋友可能对KQJ游戏有印象：乙显然只能bet K （value bet，希望甲拿Q去抓bluff），或者bet J（bluff，希望甲fold Q），绝不能bet Q（甲拿K一定call，拿J一定fold）
3）甲乙都采用Game Theory Optimized策略

作者: notch 时间: 2012-6-22 14:06
本帖最后由 notch 于 2012-6-22 14:08 编辑

乙三种情况是各33%
K: bet
Q: check
J: x% bet bluff, (1-x%) check

甲面对三种情况，各有50%可能
乙K，
甲J，fold，乙得1，
甲Q，y call，(1-y) fold，乙得1+yb
乙Q，甲无论如何check
甲K，乙得0
甲J，乙得1
乙J，（1-x）check，乙得0
x bet
甲k，乙得-b
甲Q，ycall，乙得-b，（1-y）fold，乙得1

综上，乙得
1/6*1+1/6*（1+yb）+1/6*0+1/6*1+1/3*（1-x）*0+1/3*x*（1/2*(-b)+1/2*y*(-b)+1/2(1-y)*1）
=1/6*(3+yb+x*(-b-yb+1-y))
=1/6*(3+b(y-x-xy)+x(1-y))

假设存在一个b>0，使
b(y-x-xy)+x(1-y)>0，且有最大值
如果y-x-xy>0，那么b应该是无穷大，于假设不符
如果y-x-xy<0，那么b<(x(1-y))/(x+xy-y)，b=0，亦于假设不符
所以不存在这么一个b

作者: 竹林居士 时间: 2012-6-22 21:05
本帖最后由竹林居士于 2012-6-22 07:18 编辑

先把问题简化。
先看甲的策略：甲拿K一定CALL，拿J一定FOLD。
关键分析甲拿Q时：
如果甲知道乙的策略，由于乙BET量是相等的，甲CALL的EV=50%*（b+1)-50%*b=0.5
所以甲拿Q一定CALL。
乙的EV=50%*（b+1)-50%*b=0.5
双方EV与b无关，所以我的结论是BET多少都可以。

作者: Howard 时间: 2012-6-22 21:51
本帖最后由 Howard 于 2012-6-22 21:54 编辑

2楼notch的讨论很严密，最后的简化公式我算了算也没错：
乙的EV=1/6*(3+b(y-x-xy)+x(1-y))

但是，最后的结论忽略了一点，就是x和y都不是独立于b的。换句话说，他们都是关于b的函数。因为甲和乙都打optimized策略。所谓optimized，就是说我明告诉你我的策略，你也不能通过改变战术（x，y值）来剥削我。所以，乙的EV是有可能有最大值，或者至少有区域极值的。

作者: Howard 时间: 2012-6-22 21:54
3楼竹林，

乙拿着K肯定bet100%，但是拿着J却只有一定比例bet。为跟2楼一致，

乙拿J bet%= x
甲拿Q call%=y

作者: zdy32167 时间: 2012-6-22 22:13
sqrt(2)-1 ?

作者: 竹林居士 时间: 2012-6-23 00:50
本帖最后由竹林居士于 2012-6-22 10:55 编辑

我把题目理解错了，我以为乙每一手都BLUFF了，导致把问题简单化了。

我初步思路是找出一个EV的三元函数，这个函数对甲乙双方都是最佳的，用偏导数等于0时EV取极大值。解出x,y,b。
慢慢来。

作者: Howard 时间: 2012-6-23 01:05

zdy32167 发表于 2012-6-22 22:13
sqrt(2)-1 ?

推理、计算过程？

作者: Howard 时间: 2012-6-23 01:06

竹林居士发表于 2012-6-23 00:50
我把题目理解错了，我以为乙每一手都BLUFF了，导致把问题简单化了。

我初步思路是找出一个EV的三元函数， ...

跟聪明人说话就是省事儿！竹林太上道了，一下子把方向指的明白儿的。

作者: 伟大的墙 时间: 2012-6-23 01:17

Howard 发表于 2012-6-23 01:06
跟聪明人说话就是省事儿！竹林太上道了，一下子把方向指的明白儿的。

你们先折腾
我只看最后结论

作者: 竹林居士 时间: 2012-6-23 02:25
本帖最后由竹林居士于 2012-6-22 13:30 编辑

先看甲的策略：甲拿K一定CALL，拿J一定FOLD。

乙拿J bet%= x
甲拿Q call%=y

对甲分析6种情况
1、K vs Q EV1=1
2、K vs J EV2=(1+b)x + (1-x)=bx+1
3、Q vs K EV3=-yb
4、Q vs J EV4=xy(1+b) +(1-x)=1-x+xy+bxy
5、J vs K EV5=0
6、J vs Q EV6=0

对y求偏导数
-b+x+bx=0
x+bx=b

对乙分析6种情况
1、K vs Q EV1=（b+1)y+(1-y)=by+1
2、K vs J EV2=1
3、Q vs K EV3=0
4、Q vs J EV4=1
5、J vs K EV5=-bx
6、J vs Q EV6=-bxy+x(1-y)=x-xy-bxy

对x求偏导数
1-b-y-by=0
对b求偏导数
y-x-xy=0
y+xy=y

x+bx=b
1-b-y-by=0
x+xy=y

y=b
bb+2b-1=0
(b+1)(b+1)=2
b=sqrt(2)-1
y=sqrt(2)-1
x=b/(1+b)=1-sqrt(2)/2

解得：
b=sqrt(2)-1
y=sqrt(2)-1
x=1-sqrt(2)/2

得乙的最佳bet量b是0.41
拿J时29%时BET
甲拿Q时41%　CALL

作者: zdy32167 时间: 2012-6-23 02:45
本帖最后由 zdy32167 于 2012-6-23 02:46 编辑

Howard 发表于 2012-6-23 01:05
推理、计算过程？

这不是填空题么？霍老师还要过程……
高中程度的计算实在不好意思拿出来
我等着吃饭的时候算的，有一些地方没有严格的证明

借用2L的式子（我自己用的是abc）
1/6*(3+b(y-x-xy)+x(1-y))
=1/6*(3+x-bx-y(x+xb-b))
其中b和x是乙决定的，y由甲来选择
固定了x和b后，EV函数是关于y的一次函数，应该在y=0或y=1时取最小值（这里有什么办法直接推出x+xb-b=0？我不会了）
两种情况下的EV函数分别为1/6*(3+x-bx)和1/6*(3+b-2bx)
我们要找出其中较小一个的最大值。
因为两个函数关于x和b的单调性是相反的，因此最大值出现在他们相等的这条线上（仍然很ugly，等达人解答）
由x-bx=b-2bx得x=1-1/(1+b), bx = b-x = b-1+1/(1+b)
1/6*(3+b-2bx) = 1-1/6*[(1+b)+2/(1+b)]<=1-1/3*sqrt(2),当1+b=2/(1+b)即b=sqrt(2)-1~=0.414的时候取等号，对应的bluff频率x=1-1/(1+b)=1-sqrt(2)/2~=0.293,EV为1-1/3*sqrt(2)~=0.528,跟甲call的频率无关。

作者: notch 时间: 2012-6-23 12:47
本帖最后由 notch 于 2012-6-23 13:12 编辑

竹林居士发表于 2012-6-23 02:25
先看甲的策略：甲拿K一定CALL，拿J一定FOLD。

乙拿J bet%= x

我之前认为乙的ev应该是有个极值
但这个值和x,y相关，和b无关

如果按照optimized game来解释，那就是说乙定了x,b以后，甲无法靠改变y来获利
把公式改一下
y(b-bx-x)+x-bx
那么就是应该使b-bx-x=0，且x-bx有最大值
x=b/(b+1)
x-bx=b/(b+1)-b^2/(b+1)=b(1-b)/(1+b)在b>0的范围内有极大值
求导数不在行，估计竹林的结果是对的

作者: zdy32167 时间: 2012-6-23 13:30

notch 发表于 2012-6-23 12:47
我之前认为乙的ev应该是有个极值
但这个值和x,y相关，和b无关

y(b-bx-x)+x-bx
那么就是应该使b-bx-x=0，且x-bx有最大值

这一步我一直不知道是怎么得出来的，包括以前看霍老师的文章也有过这样的疑问，是不是我的知识里缺了什么内容，能不能帮我详细解释一下？
如果有另一组x1,b1，使得y的系数b1-b1x1-x1不为0，使得甲可以通过改变y来使EV有最小值，但这个最优的EV仍然大于x-bx，那通过让b-bx-x=0得出的不就不是最优策略了么?
比方说，如果EV的表达式正好是y(b-bx-x)+100x-bx怎么办？是说有什么判定的原则什么的么？

作者: notch 时间: 2012-6-23 14:23

zdy32167 发表于 2012-6-23 13:30
y(b-bx-x)+x-bx
那么就是应该使b-bx-x=0，且x-bx有最大值

说实话自己没仔细想过这一点的证明
只是觉得应该如此
试证明如下：

这是一个y的一次函数y: [0,1]
如果b-bx-x>0，那么y取0为极小值，x-bx
b>(b+1)x，所以x<b/(b+1)
代入上式，得极值为x-bx=x(1-b)<b(1-b)/(1+b)，后面这个公式在b=sqr(2)-1时最大为3-2sqr(2)
那么当b-bx-x>0时，该值不可能大于3-2sqr(2)

如果b-bx-x<0，那么y取1为极小值，b-bx-x+x-bx=b-2bx
同样得x>b/(b+1)，代入得
b-2bx=b(1-2x)<b(1-b)/(1+b)
也和之前的结论相同

所以只有当b-bx-x=0的时候，该式有极值b(1-b)/(1+b)

如果公式变了，意味着题目的条件也变了
按照你写的公式，意味着当你bet的时候，你有一个100的额外收入
这么一来结论当然也不一样了

作者: zdy32167 时间: 2012-6-23 15:27

notch 发表于 2012-6-23 14:23
说实话自己没仔细想过这一点的证明
只是觉得应该如此
试证明如下：

这样的证明好像跟你之前的思路不太一样
你之前好像是一步得出来的，就像是引用了什么定理
比方说f(b,x,y) = y*g(x,y) + h(x, y), 当满足xxx条件时当y=0时有极值……如果这样的话，x的系数是1还是100根本就是一样的。我自己的步骤也像你后面的帖子一样，还不如你严密，而且看上去更像一个偶然，而无法像你前一个帖子一样好像一步得出结果，所以如果你是用了什么我不知道的方法，还望不吝赐教

作者: notch 时间: 2012-6-23 22:50

zdy32167 发表于 2012-6-23 15:27
这样的证明好像跟你之前的思路不太一样
你之前好像是一步得出来的，就像是引用了什么定理
比方说f(b,x,y) ...

当时的思路是因为说要optimized strategies，也就是说无论y怎么变，都不影响结果
所以直接出了那个系数=0
并没有想得很细

看到你的回帖后想说你的说法也好像有道理
于是反过去重新证明了一下

作者: Howard 时间: 2012-6-24 16:40
本帖最后由 Howard 于 2012-6-25 02:48 编辑

我就不说什么了，只有佩服。zdy32167和竹林的回帖我认真学习了，虽然看起来比较吃力，基本上还是看懂了，完全正确！

尤其是竹林的11楼回帖，清晰、明确、思路顺畅。说实话跟Bill Chen书上的计算方法不同，但我认为竹林的方法更清晰，更容易理解，要胜过原书的解答方法。

而zdy兄等吃饭的时间就能计算出来，更是让我叹服不已。两位的数学造诣实在是比我高不少。

竹林兄一举解答出了x y b 三个值。其中y=b=sqrt(2)-1。而题目已经表明，甲是无法靠改变y获利的，也就是说，y是多少其实没有关系。那么为什么y还有固定的值呢？因为如果甲和乙都知道对方策略的话，甲就只能用y=sqrt(2)-1，这样他才可以说自己的策略是GTO的，乙无法靠改变x来获利。如果甲不使用sqrt(2)-1，那么他call的频率或者高，或者低。高了，乙就never bluff J，也就是x=0%；低了，乙就always bluff J，也就是x=100% 。所以，甲要使用这个固定的y值，才能说自己是GTO

作者: zdy32167 时间: 2012-6-25 01:56

Howard 发表于 2012-6-24 16:40
我就不说什么了，只有佩服。zdy32167和竹林的回帖我认真学习了，虽然看起来比较吃力，基本上还是看懂了，完 ...

关于y的部分学习了，多谢
霍老师的溢美之词让我太惭愧了
运气不好的时候等吃饭是要等很久的……
主要的困难在于没有纸笔，因此答案基本是靠猜的，中间跳过了不少步骤
您要是说我算错了，我还得老老实实回家慢慢算……

作者: Howard 时间: 2012-6-25 02:46

zdy32167 发表于 2012-6-25 01:56
关于y的部分学习了，多谢
霍老师的溢美之词让我太惭愧了
运气不好的时候等吃饭是要等很久的……

你给出根号2减一的正确答案我就吃了一惊，但是没有立刻说正确，因为怕打击后来回答问题的人积极性，同时也确实想看看你是怎么算的。这个我真得承认，我光凭心算是算不出来的

作者: zdy32167 时间: 2012-6-25 04:10

Howard 发表于 2012-6-25 02:46
你给出根号2减一的正确答案我就吃了一惊，但是没有立刻说正确，因为怕打击后来回答问题的人积极性，同时 ...

我贴的不是当初自己用的方法……
我的方法完全是做填空题的思路
首先，相信霍老师，这道题一定有解
其次，假设有解时y的系数为0，这一步是我感到最不安的，我之所以追问notch是因为我其实用了跟他一样的方法，但不知道如何证明其正确性，包括竹林的解法我也没想明白，为什么一定是各个偏导数都是0，万一解出来不是鞍点是极点怎么办，求教。
然后，分情况讨论EV，忽略掉无关的EV和系数中的1/2，我还是用我的abc吧，一看xyz就犯晕
a=Attempt to bluff %
b=Bet size
c=Call %
首先忽略与c无关的部分，得到b-a-ab=0，有ab=b-a和a=1-1/(b+1)
然后忽略与c有关的部分，得到a(-b+1)=a-ab=a-(b-a)=2a-b，求这个式子的极值估计要用到那个著名的不等式，因为a的系数是2，所以最后一定是b+1=sqrt(2)
这么做的话估计大多数人都能心算，我以前就是这么做填空题的，但错一步就2了

作者: 竹林居士 时间: 2012-6-25 09:15
我再把我的解题全过程总结一下：
1、一开始我把题目理解错了，没注意Howard的那句话＂此题有一定难度＂，导致我回了一个让人笑掉大牙的帖子。
2、看了Howard的回贴，才把题目读明白。试探性的说了一个解题思路，并且试探性地解题，看了Howard的又一回贴，在他肯定了我的解题思路后，我才把发表我的解题回贴。就是说我的解题过程是得到了很多提示才解出来的。
3、我对Howard的肯定我欣然接受，但对那些赞扬感到有些不安。我没见过原书的解法，也想学习一下。
4、我的解题过程叙述不是非常详细。我认为，对能看懂解题过程的人没必要写得太详细，对看不懂解题过程的人写详细了他还是看不懂，于是略去一些不关键的步骤。
5、解完题目后，我很自信我的结果。楼上提出的没有证明是不是鞍点的疑虑，我也考虑到了这点，因为这是一道有实际意义的应用题，不是一个纯数学题，证明的意义不大。解题过程b有两个解一个是sqrt(2)-1，另一个是-sqrt(2)-2，不合题意，略去，没必要写出来。
6、解完题目后，我没有考虑b,x,y的具体涵义。看了howard的总结后才明白。Howard对b,x,y的解释太精彩了，佩服佩服！

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