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标题: <扑克的数学>牌例之一:再扩展-真Pot Limit [打印本页]

作者: Howard    时间: 2012-1-12 05:23
标题: <扑克的数学>牌例之一:再扩展-真Pot Limit
本帖最后由 Howard 于 2012-1-12 05:23 编辑

<扑克的数学>牌例之一:AA vs 强draw明牌互博一文中,甲的最佳策略分别是:

1. 筹码50,无所谓(但希望是check-check);
2. 筹码400,check;
3. 筹码1300,bet pot;

造成甲这种策略变化的原因是,甲的最大优势来源于转牌大幅度领先时可以向乙抽取价值。所以甲要力争在转牌剩余且仅剩余一个potsize bet。

<扑克的数学>牌例之一:扩展一文中,如果把乙的outs从15个改为14个,乙居然要翻牌fold,即使他的牌占优势。原因是乙的outs已经不够在转牌上跟potsize。

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前两篇文章中,假定游戏是Strict Pot Limit,也即下注必须是Potsize,不能多也不能少。有人回复(包括智游城和我的微博),你说的那个Strict PL没用,现实中都是No Limit;即使Pot Limit,也是下注Pot以下均可。恰好Bill Chen在书中随后就写了一个真PotLimit的牌例。经我的改编,叙述如下。

有必要重新描述一下牌局:

Pot Limit Hold'em。二人HU。下注或加注可以从最小量到Pot。

双方不但可以看到自己的牌,还可以看到对方的牌。

甲(剩余筹码400):A A
乙(剩余筹码400):8 7

翻牌:K 9 6

底锅100。

(为了简化起见,忽略乙runner-runner 两对/明三,忽略甲葫芦。假设转牌乙没听上仍是15个outs)

如果你是甲,你的最佳下注量是多少?(先别往下看,用直觉想一下)

回忆一下牌例之一原文,情况2的叙述(看过的同学请跳过)


情形2:中筹码,二人各有400元

如果二人翻牌上全进,乙的EV是
56%×(New pot size) - (cost of bet)
=56%*900 - 400
=104

如果甲bet 100,乙就恰好能raise potsize全进,以求得104的E。所以甲不能bet,必须check。

甲check,现在假设乙bet 100,甲如果全进,就正遂乙愿,所以甲call。

二人看转牌。底锅300,剩余stack 300。

15/45的情况,转牌是15张乙的out,游戏就结束了,乙虽然胜出,但是从甲那里再得不到1毛钱。(忽略甲fullhouse)
这时乙的EV是 new pot - cost of bet = 300-100 = 200

30/45的情况,转牌blank,甲乙equity之比变为66:34,甲大占优势,bet pot 300 AI之后,乙只能含恨call。这时乙的EV:
15/44 × (900-400) + 29/44 * (-400) = -93.2

综合上面两种情况,乙的EV是15/45 * 200 + 30/45 * -93.2 = 4.53

对于乙来讲,这区区4.53远低于翻牌全进的104。但是,他没有机会翻牌全进,因为甲不给他这个机会。


现在看看甲check后,乙随之check的情况。

15/45的情况,转牌是15张乙的out,游戏就结束了,乙虽然胜出,但是从甲那里再得不到1毛钱。(忽略甲fullhouse)
这时乙的EV是 new pot - cost of bet = 100-0 = 100

30/45的情况,转牌blank,甲乙equity之比变为66:34,甲大占优势,bet pot 100之后,乙只能含恨call。这时乙的EV:
15/44 × (300-100) + 29/44 * (-100) = 2.27

综合起来,乙的EV是15/45 * 100 + 30/45 * 2.27 = 34.85

虽不及翻牌全进的104,但比起乙贸然出手bet的EV 4.53,已经好很多了。

所以,二人的最佳策略是翻牌上check check,转牌如果乙没听上,bet call。


甲希望在翻牌上搞进一个Potsize(100),这样他能让乙的EV最低(4.53)。但在Strict PL条件下,他不可能自己下注100,如果他下注,乙就全进了,取得最大EV 104。所以甲只好退而求其次check。

现在甲可下注100以下,好像开了一扇门,让他有更大利润的空间。他考虑的最高宗旨,应是保证他在转牌下来之时,剩余筹码恰好是potsize。如果达不到这个条件,则越接近越好。

前面我们的分析,都是站在乙的EV角度。Bill书里面是站在甲的角度。因为EV守恒,此消彼长,所以无所谓。为了一致性以及避免纯抄袭的嫌疑,我以下分析仍然站在乙的角度。

假设双方在翻牌上各搞进去f。这个f,可以是甲下注f,乙call f;也可以是甲check/call乙的下注f。还可以是甲下注1/3 f,乙加注到f,甲call。当然,还可以是甲下注,乙加,甲反加。。。。 无论如何,f就是最后他们在flop上每人投入的钱。

只要f<=100,甲就保证在转牌上,还有一次potsize bet,这个bet的尺寸是2f+100,也就是turn上底锅大小。
1. 15/45,乙在转牌击中,双方再无下注。乙利润= new pot - cost of bet = 2f+100-f= f+100
     (或者:乙利润=甲的投入+初始底锅=f+100)

2. 30/45,乙错过转牌,甲下注2f+100,乙跟
    2.1   15/44,乙河牌中,乙利润= 甲的投入+初始底锅= f +(2f+100) + 100 = 3f+200
    2.2   29/44,乙错过,乙利润 = -(自己投入)= - (f + 2f+100) = -3f-100
综合2.1和2.2,可得乙错过转牌时EV:15/44*(3f+200) + 29/44*( -3f-100) = -42/44 f + 100/44

再综合1和2,可得乙在f<=100时的EV:15/45×(f+100)+ 30/45 (-42/44 f + 100/44) = -0.303f + 34.85


如果f>100,则甲在转牌上剩余stack小于pot size,他只需乙错过转牌时全进即可。
1. 15/45,乙在转牌击中,双方再无下注。乙利润= f+100

2. 30/45,乙错过转牌,甲下注全进,乙跟
    2.1   15/44,乙河牌中,乙利润= 甲的投入+初始底锅= 400 + 100 = 500
    2.2   29/44,乙错过,乙利润 = -(自己投入)= -400
综合2.1和2.2,可得乙错过转牌时EV:15/44*500 + 29/44*( -400) = -93.2

再综合1和2,可得乙在f>100时的EV:15/45×(f+100)+ 30/45 *(-93.2) = 0.333f - 28.8


以f为自变量,乙的EV为变量,这是个分段函数:

                  -0.303f + 34.85 (f<=100)
乙的EV = {
                  0.333f - 28.8 (f>100)

不妨验证一下。f=0时即双方check-check,乙EV是34.85;f=100时即甲pot乙call,乙EV是4.55。均与前文计算结果吻合。

用Excel画出个图来,横坐标是f,纵坐标是乙的EV:

[attach]1737[/attach]

直观地看出,乙最不利的f 恰好就是100,向任意一端偏离100,都可导致乙EV升高。

如果甲下注10,情况会怎样?乙最少可以跟10,最多可以加注到130,也就是说,他可以把f的区间弄到[10, 130]。从图上看出,此区间内,他的EV在f=10时最高,所以他简单call是最佳策略。

如果甲下注20,则乙有权把f 搞到【20,160】。此区间内,仍然是20的EV最高。乙仍然call。

甲不断提高下注,总有那么一点,超过此点后,乙加注pot后的EV将高于平跟。此平衡点找法如下:

设甲下注b,则乙能把f 搞到【b, 3b+100】。在乙的EV函数中,令EV(b) = EV (3b+100),即可。

-0.303*b + 34.85 = 0.333 * (3b+100) - 28.8

解得:b=23.02

这个b的意义在于,当甲下注23.02时,乙的最佳选择是平跟或者raise pot,这两种选择下乙的EV相同;而乙选择raise 0到pot中间的任何一个其他值,EV都不如这两种选择。

所以甲的最佳策略,自然就是下注23.02

结论:

筹码深度对于下注大小有至关重要的意义;
让对手加注和平跟的EV相同,就是最佳下注值(当然,假定对手是足够聪明的)

你猜对了吗?
作者: maomaobiao    时间: 2012-1-12 10:16
本帖最后由 maomaobiao 于 2012-1-12 12:26 编辑

“让对手加注和平跟的EV相同,就是最佳下注值”

这就是尽量简化模型下,另外一句经典扑克话语的不同版本——“尽量让对手做决定的时候很难受。”

其实我还有些问题,但还是静静等火花的再次展开。原因是我对深筹码下,在flop一个不算大的锅,如何show commitment。仔细想想,也不到从何问起,便就作罢,等下文。
作者: wangyong    时间: 2012-1-14 11:10
仔细研读了!!谢谢!!看君一个贴,胜读一本书!!!!
作者: Howard    时间: 2012-1-14 12:13
maomaobiao 发表于 2012-1-12 10:16
“让对手加注和平跟的EV相同,就是最佳下注值”

这就是尽量简化模型下,另外一句经典扑克话语的不同版本— ...

没有再次展开了,下次就是例二。你的问题还是别问了,我多半不会,给我留点面子




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