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标题: 几乎极化范围的下注和攻防-- GTO的概念和应用（3） [打印本页]

作者: yyy6 时间: 2017-4-8 02:30
标题: 几乎极化范围的下注和攻防-- GTO的概念和应用（3）

为方便大家阅读，先放提纲：

1，定义

2，几乎极化范围的下注尺寸（tipton公式）

3，逻辑和数学推导

4，对方坚果比例增加时的攻防变化

5，软件演示和说明

6，实战指导意义

1，定义

几乎极化，即一方的手牌范围里面有一部分(坚果端)对上对方的手牌范围赢率非常高，而剩下的一部分(空气端)对上对方的手牌范围赢率非常低。而从另外一方的范围来看，大部分手牌只能用来抓诈唬，但有一小部分手牌是坚果，能够打败或者和对方的坚果端分钱。

2，几乎极化范围的下注尺寸

(这个公式和推导最早由Will Tipton发表在《ExpertHeads Up No Limit Hold’em 》一书)

设此时筹码深度为S倍底池，我们的坚果端对上对方的手牌范围赢率为1-T，即对方有比例为T的坚果。这里的T即可以是对方以一定比例慢打埋伏了一部分坚果，也可以是在后面几条街对方手牌范围内很小的一部分击中了坚果。

我们的下注尺寸应为：

B = (1+S-T-4S(1+S)T+(S+2S*S)sqrt(T))/((1+2S)(1+2S)T-1)

下面列表看看一些不同的有效筹码和对方坚果比例下的对应尺寸：

S/T	5%	10%	15%	20%	25%
1	1.00	1.00	1.00	1.00	1.00
2	2.00	2.00	1.14	0.62	0.33
3	3.00	1.47	0.75	0.41	0.20
4	2.95	1.17	0.61	0.32	0.14
5	2.43	1.02	0.53	0.28	0.11
10	1.71	0.77	0.40	0.19	0.05

横轴为对方的坚果比例从5%到25%(如果再大我们根本就不应该在下注,我们也不算是几乎极化了),纵轴为剩余的筹码深度.比如如果还剩余5倍底池,对方有15%比例为坚果时,我们应该下注大约半个底池.

从表里可见,对方埋伏的坚果比例越高,剩余底池越大,我们应该下注越小.

双方的攻防会在下面的推导过程详细说明.

3，逻辑和数学推导

上一篇的内容虽然是针对完全极化的范围,但其实关于怎么混合诈唬和对方以什么频率跟注却有很宽的适用性.因为我们的下注总应该是价值下注混合诈唬下注,比如到了河牌,不需要考虑双方的隐含胜率时,我们这里仍然应该以给对方的底池胜率即B/(2B+1)混合我们的诈唬.其中B是上面提到的下注大小.而对方为了让我们的下注不能混合更少或者更多的诈唬,会跟注或者加注最低防守频率即1/(1+B),即弃牌1-1/(1+B)=B/(1+B).和上篇的例子一样,如果我们下注2个底池,其中我们应该有40%的比例为诈唬,而对方应该弃牌2/3.

但和上篇不同的是,这里对方有T的比例为能打败我们价值端的坚果,这T的比例显然应该加注,同时额外混合一部分他的抓诈唬范围转为诈唬我们的价值端,这里对方的加注范围变成了我们上一篇讨论的完全极化的范围,对方应该全下S, 包括所有坚果T,及可以混合T*(S-B)/(1+S)的诈唬,其中S为我们下注前的有效筹码.而我们面对对方的全下,将用我们的价值端防守相应的比例,而被迫弃掉所有诈唬以及剩下的价值端,可以想象,如果后手筹码越多,我们被迫要放弃的价值端也会越多.

这时候我们下注的EV为三部分的和,注意在对方的GTO策略下我们的诈唬的EV总是为0,只需要考虑我们的价值端,那么对手弃牌我们赢得当前底池1,对手跟注我们赢得(1+B),而对手加注我们输掉额外下注的B. 这样,列出EV公式求极值(求导然后解出令其导数为0的B)即可得到Tipton的下注公式.

再回顾一下双方的策略,几乎极化方应该主动下注所有的价值端以及混合相应比例的诈唬,下注尺寸为上面的公式求出,这时对方会首先弃掉一个比例使得我们的诈唬EV为0,然后在剩下的范围里面全下所有的坚果,再混合一定的抓诈唬范围转为诈唬。而我们会根据现在的底池赔率去跟注一定的价值端。

4，对方坚果比例T增加时的攻防变化

如果我们在前位，只要T或者S不足够使我们的下注尺寸为负数时，我们仍然应该下注，通过下注我们的价值端和诈唬端，不但迫使对方的抓诈唬端增加了弃牌率，而由于我们下注了额外的“死钱”，对方的坚果端全下时可以带的诈唬也会减少，因为这个时候我们的底池赔率变好了。比如底池100，有效200，如果我们不下注，对方每一个坚果组合可以混合200/300即2/3个诈唬组合（诈唬比例为40%，与上篇文章符合），但如果我们计算可以下注50，此时对方每一个坚果组合只能混合150/350（我们下注后跟注加注的底池赔率）即0.43个诈唬（诈唬比例下降为30%）。我们付出的代价是在对方加注的时候输掉了额外的死钱（我们需要跟注一部分使得对方不能增加加注比例，但算EV的时候既然对方GTO使得我们跟注弃牌一样可以简化为我们面对加注全部弃牌），但对方下降的诈唬比例也需要通过更多的跟注来弥补，这一部分跟注也增加了我们价值端的回报。当对方的加注比例可以高于跟注比例时我们下注就开始变得负EV，但这是TIPTON公式本身就保证的平衡点。

如果我们在后位，此时情况变得复杂起来，随着T不断增加，“几乎极化”的条件也被打破，双方范围更加倾向于非极化而是交叉在一起。前位此时有过多的坚果，如果前位此时仍然全部过牌，我们在后卫可以也选择全部过牌，让他的多余坚果失去价值，而如果前位当成完全极化的范围处理而直接全下所有的坚果，那当他过牌的时候变成我们的范围完全极化，我们也可以大幅提高EV。所以前位的策略为直接全下一部分坚果，而在过牌范围内也留下一部分坚果来使得我们的范围仍然处于“几乎极化”，迫使我们要控制下注尺寸。而且不但如此，我们还不能下注过多的价值端，因为此时我们过牌就开牌了，不必再去担心被对方的坚果端剥削。而如果我们下注过多，对方就会增加坚果过牌的比例来做过牌加注，而如果我们下注过少，对方就会减少坚果过牌的比例来增加直接全下的EV提升。

5，软件演示

如同上篇，我们设定在河牌公共牌为22233, 没位置的一方为几乎极化的范围为KK或者JJ,有位置的一方为AA或者QQ.设对方AA的比例为0.15，底池为100，有效为500，根据上面的表可以看出我们下注大概为53%的底池。给软件几个下注尺寸，它果然选择了98.8%的KK只下注这个尺寸（其他一些为精度范围内的误差），此时可以混合的JJ为53/153约为0.34.

[attach]6626[/attach]

面对我们的53下注，对方首先弃牌0.53/（1+0.53）正好也为34%。然后全下了所有的AA(15%),然后相应混合了约为0.1的抓诈唬端QQ，而剩下的40%的QQ跟注。

[attach]6627[/attach]

我们面对对方的500加注，防守153/500 约为31%。注意这个31%是从我们的KK里面选择的，而我们的JJ应该全部弃牌，所以总的跟注率只有23.4%。

[attach]6628[/attach]

6, 实战的指导意义

a),实战中我们对对方的范围封顶状况往往是没有那么确定的,即使经过多次行动,对方仍然有一定的慢打坚果可能.又或者一个数据貌似岩石的玩家在翻前亦可能以很小的比例加注56而在553的面上击中三条等等,又或者上篇最后举的例子,多次加注后的公共牌3348J,对方所有的超对中就包括最后击中能打败我们价值端的JJ.

这样,T就可以用来代表我们的不确定度,如果不确定度越高,后手越深,我们应该对我们的下注尺寸越谨慎,当然当不确定度小于10%的时候,往往我们还是应该超池甚至全下.

至于具体的下注大小,可以根据上表记熟常见的T/S组合下的尺寸.

b),当我们在前位的时候,即使对方的范围没有完全封顶,但只要不是太多的坚果,我们仍然应该下注所有的价值端,原因和好处在上面第4段有详细介绍.

c),当对方是几乎极化的范围时,我们在前位,如果坚果比例过低,应该过牌加注所有的坚果,而不是直接下注.随着比例上升,我们可以直接下注一部分坚果+诈唬,而留下一部分保护我们的过牌范围.

d),最后一个但可能却是最重要的一个，由于篇幅有限没有讨论具体EV的变化，但我们可以发现，当筹码很深的时候，在我们的范围内哪怕只保留10%的坚果，也会让对方的下注和EV受到很大的限制。所以轻易不要使自己的范围封顶！

（4）考虑手牌移除效应的对称范围

作者: 1025 时间: 2017-4-8 09:54
顶顶顶

作者: lililili11 时间: 2017-4-8 15:25
Tipton的公式只计算了下注的ev达到极值时，下注量应该是多大，却没有考虑过有的时候即使下注的ev达到极值，也不如过牌。

所以y总本章第四节开头的“如果我们在前位，只要T或者S不足够使我们的下注尺寸为负数时，我们仍然应该下注”这个论断是不准确的。

另外还有一个问题，作为手里拿着大部分摊牌价值的牌以及少部分nuts的一方，河牌在没位置的时候，一定是选择过牌或者donk all in吗？有没有一个下注尺寸可以在适当的筹码深度以及nuts比例下使得我们的blocking bet才是ev最高的？

最后，感谢y总分享，期待更多章节。

作者: Howard 时间: 2017-4-8 16:27

lililili11 发表于 2017-4-8 01:25
Tipton的公式只计算了下注的ev达到极值时，下注量应该是多大，却没有考虑过有的时候即使下注的ev达到极值， ...

关于第一个问题，我感觉不需要单独考虑过牌ev。因为过牌= bet 0。ev关于下注量的函数应该是连续的，所以过牌ev应该跟下一个极小注的ev本质上相等。

作者: lililili11 时间: 2017-4-8 17:16

Howard 发表于 2017-4-8 16:27
关于第一个问题，我感觉不需要单独考虑过牌ev。因为过牌= bet 0。ev关于下注量的函数应该是连续的，所以 ...

是的，谢谢解释。

作者: yyy6 时间: 2017-4-8 17:27

Howard 发表于 2017-4-8 16:27
关于第一个问题，我感觉不需要单独考虑过牌ev。因为过牌= bet 0。ev关于下注量的函数应该是连续的，所以 ...

是的当s/t足够大导致bet结果为0或者负数时过牌此时变为对方完全极化我们的价值端只能抓诈唬我们的诈唬端孤立无援没人保护导致完全放弃

只要尺寸是正在前卫我们价值端应该全部下注而在后卫如果对方有过多坚果我们需要过牌一部分。

作者: yyy6 时间: 2017-4-8 17:31

lililili11 发表于 2017-4-8 15:25
Tipton的公式只计算了下注的ev达到极值时，下注量应该是多大，却没有考虑过有的时候即使下注的ev达到极值， ...

第二个问题应该是没有因为没必要"blocking"

我们的摊牌端面对的是一个完全极化的range没有任何下阻断注意义而我们nuts端下注应该只有一个size即全下

作者: BTCD 时间: 2017-4-9 03:14
感谢楼主啊，最近我老师也在让我看这边单挑专家的书，是在淘宝买的，翻译的太差，还是楼主翻译的好，感谢大神，希望看到完整的翻译。

作者: BTCD 时间: 2017-4-9 03:18
好像很多地方都在搞众筹，大家可以众筹楼主多翻译一点，最好有个完整翻译版本，可以到淘宝卖，肯定比现在的销量好，楼主加油！

作者: Wee 时间: 2017-4-9 04:48

BTCD 发表于 2017-4-8 11:18
好像很多地方都在搞众筹，大家可以众筹楼主多翻译一点，最好有个完整翻译版本，可以到淘宝卖，肯定比现在的 ...

这不是楼主翻译的。这是楼主自己写的，原创的，拥有版权的。

大家应该为智游城有这样水平创作，有这样胸怀分享的城友感到而欣慰而赞叹

必须为Y总叫好

作者: BTCD 时间: 2017-4-9 05:26
对对对，是原创的，那本书是抄咱们的，哈哈，这个版权是咱们智游城的。

作者: yyy6 时间: 2017-4-9 10:57

Wee 发表于 2017-4-9 04:48
这不是楼主翻译的。这是楼主自己写的，原创的，拥有版权的。

大家应该为智游城有这样水平创作，有这样胸 ...

谢宝爷的确不是“翻译” 那本书我看都没看过但知道出处是那儿也在原文标注了

但这些公式知识也的确不算是原创这些东西也不是我发明发现的国外论坛书籍视频可能几年前这些内容就都涵盖了但中文的讨论目前还比较少我只是把我的理解总结归纳在一起

作者: 不茶不酒 时间: 2017-4-18 13:45
写的很好，谢谢分享，把知识按自己的思考写出来，思考过程最能体现智慧，期待后续

作者: keybattle 时间: 2017-5-6 02:13
写文章的时候又跑来Y总这里看了一下，真是好文

作者: 不茶不酒 时间: 2017-9-12 15:11
第四章，求求求—————

作者: rahj 时间: 2017-12-18 16:35
本帖最后由 rahj 于 2017-12-18 16:38 编辑

那个列表
我的计算结果如下，有部分区别，集中在5%-20%这几栏，相信是结合了后手筹码做了相应的调整，不过35%的数据也解释了之前看的一张图表的疑惑

S/T	5%	10%	15%	20%	25%	30%	35%
1	-4.03786	-20.4868	5.176843	1.927051	1	0.554805	0.290616
2	15.94427	2.441518	1.13563	0.618034	0.333333	0.150342	0.02143
3	4.307409	1.471996	0.75327	0.408123	0.2	0.058553	-0.04497
4	2.950769	1.166789	0.609214	0.322348	0.142857	0.01794	-0.07503
5	2.425421	1.017345	0.53361	0.275722	0.111111	-0.00496	-0.09218
6	2.146487	0.928665	0.487034	0.246423	0.090909	-0.01967	-0.10326
7	1.973533	0.86995	0.45546	0.226305	0.076923	-0.02991	-0.11101
8	1.855801	0.828207	0.432646	0.211638	0.066667	-0.03745	-0.11674
9	1.770485	0.797007	0.415391	0.200471	0.058824	-0.04324	-0.12114
10	1.705816	0.772804	0.401883	0.191684	0.052632	-0.04782	-0.12463

调整后

S/T	5%	10%	15%	20%	25%	30%	35%
1	1	1	1	1	1	0.554805	0.290616
2	2	2	1.13563	0.618034	0.333333	0.150342	0.02143
3	3	1.471996	0.75327	0.408123	0.2	0.058553	-0.04497
4	2.950769	1.166789	0.609214	0.322348	0.142857	0.01794	-0.07503
5	2.425421	1.017345	0.53361	0.275722	0.111111	-0.00496	-0.09218
6	2.146487	0.928665	0.487034	0.246423	0.090909	-0.01967	-0.10326
7	1.973533	0.86995	0.45546	0.226305	0.076923	-0.02991	-0.11101
8	1.855801	0.828207	0.432646	0.211638	0.066667	-0.03745	-0.11674
9	1.770485	0.797007	0.415391	0.200471	0.058824	-0.04324	-0.12114
10	1.705816	0.772804	0.401883	0.191684	0.052632	-0.04782	-0.12463

作者: rahj 时间: 2017-12-18 20:48
本帖最后由 rahj 于 2017-12-18 20:49 编辑

y总你好，一直想等到你的4出来再一起拜读大作，等呀等丫实在等不及了就直接读了
我想问下Tipton的公式的推导，是expert HU的第几册，家里有上册，买来一直没翻过

正文第三段写到，诈唬下注比例为T*(S-B)/(1+S)
诈唬/坚果=(S-B)/(1+S)
这个比例我认为是有问题的
原因是诈唬/坚果的比例数值上等同于弃牌率
弃牌率应该是(S-B)/(1+S+B)，因为这个加注的底池不等于1
想请教下这个问题是否对公式和后续的推导有影响

正确的诈唬下注比例为T*(S-B)/(1+S+B)

作者: yyy6 时间: 2017-12-19 16:33

rahj 发表于 2017-12-18 20:48
y总你好，一直想等到你的4出来再一起拜读大作，等呀等丫实在等不及了就直接读了
我想问下Tipton的公式的推 ...

你好感谢指正的确你的公式改正是对的不过最后的tipson公式应该没问题

作者: rahj 时间: 2017-12-19 23:37
本帖最后由 rahj 于 2017-12-19 23:39 编辑

yyy6 发表于 2017-12-19 16:33
你好感谢指正的确你的公式改正是对的不过最后的tipson公式应该没问题

那就好，我对第四段中的一句话有一些疑问但对方下降的诈唬比例也需要通过更多的跟注来弥补，这一部分跟注也增加了我们价值端的回报。
原义应该是我方防守的频率应该遵循最低防守频率，包括加注以及跟注频率，加注频率下降，跟注频率增加，因此我们价值下注端的ev提高了
但是由于我们极化下注，这部分跟注也同样增加了我们诈唬端的损失吧，不能直接套用诈唬的EV为0的结论了
那么这种情况下还应该遵循最低防守频率吗？

我是这么计算ev的
假设fc为跟注频率 fr为加注频率
fc+fr=1/(1+B)

EV=(2B+1)*(fc+fr-T*(1+(S-B)/(1+S+B)))=(2B+1)*(1/(1+B)-T*(1+2S)/(1+S+B))
不知道有没有算错

作者: 一条街价值诈频 时间: 2017-12-21 13:30

rahj 发表于 2017-12-18 20:48
y总你好，一直想等到你的4出来再一起拜读大作，等呀等丫实在等不及了就直接读了
我想问下Tipton的公式的推 ...

我最深有同感的是他在后记8.2中写的关于谨慎思考的那些文字~太棒了~

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