智游城

标题: 關於代數期望與幾何期望 [打印本页]

作者: funnyface 时间: 2011-3-16 17:07
标题: 關於代數期望與幾何期望
墻老是強調自己數學功底不行，但同時又自曝過自己研究過撲克概率，同時算起來EV什麽的那是一套一套啊，不過有一個概念，墻和風暴都沒有說清楚，而且如果不懂這個概念的話，對一些急於求成的新手會造成很大的傷害，這個概念就是關於EV的兩個概念，代數期望和幾何期望。

目前我们面前有两种月投资模式如下:
第一种，2/3概率获利50％，1/3概率损失50%;
第二种，90%概率获利10％，10％概率损失10％；
問你選那一種。

這時，我們就分析了
方案A的期望為
2/3*1.5+1/3*0.5=1.17
方案B的期望為
0.9*1.1+0.1*0.9=1.08
方案A的EV優於方案B，但是方案B的風險小，有些膽小的玩家選B，這時候就有人說了，高手都選A，你們選B的都註定成不了高手，於是兩邊開始掐了，最後誰也說服不了誰，墻貌似是A派的。

其實A與B是各有優劣的，我們要面對的，是在不同情況下如何選擇。

墻當時的選擇是，我每次都選A，這樣時間長了我一定能比每次選B的獲利更多。這裡，墻就已經偷偷的加上了一個原來沒有的條件，即每次都選。
那麼如果換一下，讓你用全部的家當進行這樣一次選擇，你選什麽？
可能你還是選A，因為這樣的期望最大嗎，那麼我再加上一次，你必須要面臨兩次這樣的選擇，你又怎麼選？你可能說我兩次都選A，呵呵，上當了。
簡單的計算一下，連續選擇兩次方案A，其期望就變成了(1.5)^(4/3)*(0.5)^(2/3)=1.082,而方案B則是1.1^1.8*0.9^0.2=1.162。這就是EV的代數期望與幾何期望的區別。
代數期望遵守大数定律，當一次實驗重複足夠多的時候無窮接近棄代數期望。而幾何期望，則是考慮到風險因素，對“率”的增長的一個期望，當你每次拿全部的資產進行重複投資時，則一定會選擇方案B。
二者的區別為：
如果規定，你只能拿30塊錢投資，那麼我把30塊拆成1000份，投資A一千次，而如果規定我能投資30次，那麼我一定選擇方案B，每次用100%的資金投。就算選擇方案A，我每次用2/3的資金投資，也比你每次用100%的資金投資好。
其實引申一下，這也就說明了BR的重要性，只有當你的BR足夠的時候，才可以不斷的選擇EV最高的方案。而那種不斷拿著自己全部BR往上升級的玩家，則只能任其吞聲的選擇方案B。

有一點，只要對手的籌碼量高於你，無論你手持什麽牌，你接對方allin的幾何期望均為零，這也是我們在MTT中必須要尊重大籌碼的一個重要原因。另外，早期如果可以積累足夠的籌碼優勢，在錦標賽中後期，不斷用這種微弱的優勢，接籌碼量遠遠小於你的選手的allin，可以讓你積累巨大的優勢，大家以後不要再抱怨自己的AK push被大籌碼的22,33幹掉，要知道，如果你的籌碼不足對手的20%，對手這樣接，無論是EV還是幾何期望，都有理由call你的。
例子，在錦標賽中期，你在BB拿到JJ，一個數據為9/7的UTG+2直接allin，其他人棄牌到你，你如何決策。

從牌面上分析，對手9/7的range，7%的加注牌包括，AA-77，AKs-AJs，AKo-AQo，因為你手裡有JJ，所以對手總共有77種組合，其中AA-QQ有18種（勝率20%），JJ一種（勝率50%），TT-77有24種（勝率80%），AKo-AQo有24種（勝率55%），AKs- AQs有8種（勝率55%），AJs兩種（勝率80%）。綜合來看，你的勝率是18/77*20%+32/77*55%+1/77*50%+26 /77*80%=55.2%，你call的EV為正，你應該call。

而如果考慮到出局的風險，就要根據對手的籌碼進行決策。假設對手的籌碼為x，則你的幾何期望為：
(1+x)^0.55*(1-x）^0.45，經過計算，解得x=0.1時取到最大值，幾何期望為1.005.而對手的籌碼與你越接近，你的幾何期望就越低。也就是說，如果考慮到生存因素，當對手的籌碼量大於你籌碼量的20%時，你在這種情況下call牌就是錯誤的選擇，當對手的籌碼量是你的80%時，你的幾何期望只有可憐的0.67，當你不是面臨搏命選擇，或是贏了這盤就可以成為CL，參與這種賭局，從長遠來看是會讓你實力受損的。（此處肯定會有人看不懂，試著看懂結論就可以）

當然，如果你拿到的是QQ，那麼勝率就變成了65%，如果對手的籌碼量是你的30%，你的幾何平均期望最大，而跟籌碼量在你56%以下的對手的allin幾何期望均為正。如果你手持AA，兩個數值分別為56%和87%。

作者: ggyy1414 时间: 2011-3-16 22:44
繁体字看的好难受啊。哎。

作者: monox0 时间: 2011-3-16 23:04
本帖最后由 monox0 于 2011-3-16 23:08 编辑

你只需要算一个ROR ，在合理小的范围，当然选max EV的情况，你怎么没本事把A与B的diff 弄得再小点...

再仔细看了一下，你讨论的例子根本没实际价值，谁会玩扑克一手牌拿全部资产。。。即便你90%获利10%，最佳资金增长也不是100%投资，只要有破产风险，都不可能是100%投资。什么代数期望几何期望玄乎乎的哦。

作者: dengxianqi 时间: 2011-3-17 00:05
打巡回赛，就基本等同于拿全部资产来玩。因为输光了就出局了

作者: Mirabelle 时间: 2011-3-17 10:11
楼主解答了一个一直隐隐约约在我心里的问题，自己就是琢磨不明白的，感谢

另外，有很多软件提供繁简转换功能的，不妨试试？

作者: funnyface 时间: 2011-3-17 11:27
回复 2# ggyy1414

怎么大家习惯读英文，就不习惯读繁体呢。好吧，换成简体好了……

作者: flyinglion 时间: 2011-3-17 11:37
我觉得非常有意义啊！
这解释了在MTT中为什么很多时候得扔掉AK、QQ这样的牌。
我原来想，扔掉是不是自己不够胆呢？或者call了更好？现在明白了，扔得好！以后接着扔！
越来越认为比赛中筹码是最重要的一个因素了。

作者: maomaobiao 时间: 2011-3-17 11:41
本帖最后由 maomaobiao 于 2011-3-17 11:43 编辑

回复 1# funnyface

关于MTT 中后期的论述还是很深入浅出的。我举一个实战的例子。

昨天我打一个90 MTT, 12人钱圈。在FT 之前我只记得AI showdown了三次，两次 AA，一次 K 花在有A 花面慢打遇上对手冤家小同花。

FT 我开始很紧，后来发现一桌子紧弱，一点都不夸张。比如说，有个对手拿77在AKx board pot 3000+的情况下，lead bet 800，3次！

于是我就改变策略疯狂偷盲，value bet 通常 over bet 一点，当然运气还持续，一次JQs遇见 67s，flop 89T.....

结果剩6个人的时候，我是第二名的3倍还多。

然后，我基本每把3bb进，遇到 reraise AI 就 fold (AQ+ 除外)，遇到 mini reraise 就lead AI。最后一小时打得一点悬念都没有，就是点按钮，这里夸张了些，但基本真就那样。

期间一个小筹码在我这里翻倍了两次，可还是没辙。我想这个帖子很恰当的说明了原因，其实我在仔细读了这个贴子之前，也不明白其中的道理，恩。

作者: funnyface 时间: 2011-3-17 11:49
回复 3# monox0
这个问题以前我也是跟你想的差不多的，但是在想过这个几何期望以后，就意识到这是一个非常重要的问题。
谁会拿自己全部的资产进行投资？有两种人，一种是不断的拿自己的全部资产进行投资的，另一种是特定的赌局，每一个人最开始的筹码量有限，只能增加（addon）但是不能减少的，也就是SNG和MTT。我所提出的几何期望，就是考虑在这种情况下，如何实现最优决策的。

墙由于打的主要是cash，所以对这个问题研究的不多，但是他之前的文章里面，也探讨过这些问题了，不过没有提炼出理论化的模型，没有再深一步而已。
墙一边讲，浅筹码对深筹码有着天然的优势，但同时又说深筹码是德州的全部，二者矛盾不矛盾？其实不是的。
如果可以让我按我自己的规矩玩德州，是有必胜的方法的，就是在对手不做调整的情况下带0.1BB上桌，只用前15%的牌参与多人牌局，输了就再拿0.1BB，赢了就把钱收回去，拿出0.1BB。另一种带无限的钱上桌，每次开牌前拿任意牌allin。前者就是代数期望的极致，后者就是几何期望的极致。

另外，根据二叉树模型，可以将你用部分资产的投资，等价成你全部资产的投资。在MTT中，同样一个赌局，对于超大筹码就是方案B，而对于中等筹码可能就是方案A，对于小筹码可能就是有完全破产风险的方案C。重复30次这样的投资，超大筹码可以翻到9.56倍，而中筹码只能翻到3.24倍，小筹码的几何期望就是破产。
这也一样可以用于现金游戏，你的BR越大，同样+EV的方案，几何期望就越高。

作者: RichZhu 时间: 2011-3-17 12:21
楼主花了很长时间写这个帖子，道一句：辛苦！（是真心说的，没有别的意思）

不过从楼上几位跟贴来看，我不得不冒昧出来对帖子提一些异议。我不希望论坛的朋友过分地按这个思路去想，因为这个帖子过于简化和武断。还望见谅。

我尽量简单说一下。MTT中后期小筹码尽量回避大筹码，原因是筹码的价值和实际价值的分离，如果定量分析是一定要引入奖金的分布情况的。其实如果是双方各有50%的胜率，不考虑死钱，双方都是吃亏的。不仅仅是小筹码吃亏，大筹码也吃亏。那么谁赚便宜了？除冲突之外的所有玩家。小筹码要回避大筹码是因为小筹码更吃亏而已。

其他还有一些地方不一一列举。关于BR管理和MTT中筹码面值和实际价值的分离，论坛有很多讨论。如果不愿意搜索，可以参看《扑士》杂志的相关文章。

作者: funnyface 时间: 2011-3-17 12:36
回复 10# RichZhu

我明白你的意思，ICM的理论我也看过一些，我觉得我这个观点是对ICM理论的补充。
这个理论主要是帮助中高筹码在比赛中后期阶段在牌面占优时对对手的选择，如何在相同ev的情况下实现几何期望的最大化。
根据这个理论推出的结论，和ICM理论的结论也是相似的，包括尽可能避免与大筹码和筹码量与你相似的玩家的冲突（因为几何期望为0或是小于1），在牌面上占有微弱优势时，可以和筹码量远远小于你（不足1/10）的选手放心大胆的推，而对手的筹码量越大，你所需要的领先优势就要越大。

作者: RichZhu 时间: 2011-3-17 12:53

回复 RichZhu

我明白你的意思，ICM的理论我也看过一些，我觉得我这个观点是对ICM理论的补充。
这个理论 ...
funnyface 发表于 2011-3-17 12:36

还是有不少区别的。比如说进了钱圈，（为了简化，死钱占比例很小）大筹码和小筹码的胜率是50：50。大筹码推是对的，小筹码接是错的；反过来，小筹码推不一定错，大筹码接却一定是错的。再比如进钱圈之前，大小筹码的胜率为40：60，这个时候大筹码推，小筹码接与否要考虑非常多的因素：离钱圈有多远，相对其它小筹码的位置，自己本身的绝对筹码数量等等。任何变量都可能把小筹码跟注这一选择从正确变到错误或从错误变到正确，而不是像你结论那样单一。

作者: flyinglion 时间: 2011-3-17 12:58
本帖最后由 flyinglion 于 2011-3-17 13:01 编辑

我觉得关键问题在于这
“第一种，2/3概率获利50％，1/3概率损失50%;
第二种，90%概率获利10％，10％概率损失10％；”
在实际游戏中，这个概率是浮动的，你甚至无法知道到底是多少。

“在牌面上占有微弱优势时，可以和筹码量远远小于你（不足1/10）的选手放心大胆的推。“
这一条，不关是微弱优势，甚至是极大劣势的时候，要是对方筹码不足你的1/10，都可以推，这点哈林顿早就说过了。

但是这个帖子还是有意义的，说明了某些情况下，和对手扔硬币是不合算的。特别是在中期，可能还没涉及到money EV的情况下，和对手扔硬币的几何期望很小，没必要冒出局的风险。

但是AAKK呢？合不合算？

哈哈，rich被说得要对大家负责，担心大家看了这个有误解？应该不会的，我觉得这个帖子最重要的是用数学解释了存在的一些现象，而不是用这个去指导整个的思路，应该不至于有什么误会吧：）

作者: funnyface 时间: 2011-3-17 13:05
回复 12# RichZhu

恩，是的是的，弃牌率，筹码对你的意义，这些都是纯理论模型无法覆盖的。不过把这个纯理论模型提炼出来，起码能够帮助我们在面临类似选择时，多知道一些。
我不知道这个理论对别人有没有用，但是自从想明白以后，让我的水平提高了一大截。前天晚上打2.2/180的快速比赛，15场3场以第一筹码进圈，最后拿了一个第一、一个第二、一个第十一。
在这里把我的经验写出来，只是希望之前有和我类似的迷惑的玩家能学到些东西，相信能找到智游城的玩家，要么是高手，有些即便不是高手，也都是愿意思考的玩家

作者: RichZhu 时间: 2011-3-17 13:22
回复 14# funnyface

理解。其实很多时候拿出来讨论一下对大家都有帮助。

作者: fafafafefe 时间: 2011-3-17 13:48
180人sng我一般认为前五才是钱圈。。。。

作者: 伟大的墙 时间: 2011-3-17 14:01

回复 monox0
这个问题以前我也是跟你想的差不多的，但是在想过这个几何期望以后，就意识到这是一个非常重 ...
funnyface 发表于 2011-3-17 11:49

我说过浅筹码对深筹码有天然优势？
那应该是过去

作者: funnyface 时间: 2011-3-17 15:20
回复 17# 伟大的墙
你说过的！不过你讲的优势是EV优势，EV上确实有。但要是考虑到破产的风险，就是像你现在所主张的，深筹码才是德州扑克的全部。
如果你的筹码量无限多，那么无论做什麽決策，無論EV多少，都是在此EV下幾何平均最高的決策。

作者: jackycloud 时间: 2011-3-17 17:56
说的好，浅显易懂，用数学解决了逻辑上的问题

作者: greatsunkai 时间: 2011-3-17 20:45
怎么又创造出一个几何期望的概念，我只听说过几何分布的期望，从来没听说过几何期望这个说法。

作者: monox0 时间: 2011-3-18 20:24
本帖最后由 monox0 于 2011-3-18 20:26 编辑

回复 monox0
这个问题以前我也是跟你想的差不多的，但是在想过这个几何期望以后，就意识到这是一个非常重 ...
funnyface 发表于 2011-3-17 11:49

我数学不好, 几何期望的概念还没消化,你又来一个二叉树... 请教一下你说的第2种情况的期望, 就是你不可变动你资金的情况下,为什么按照A 投资的期望是你写的那个公式?
能给我解释一下吗.

我的理解: 假如我只有100元, 100元是我的全部财产, 我用来做A 这样的投资, 我会得到以下四种情况:

A. 我第一次投资赚, 第二次也赚, 这样的机会是2/3*2/3 =4/9, 我资金变成1.5*1.5=2.25 倍=225
B. 我第一次赚了,第二次亏了, 这样的机会是2/3*1/3=2/9, 我资金变成1.5*0.5=0.75倍=75
C. 我第一次亏了,第二次赚了, 这样的机会是1/3*2/3=2/9, 我资金变成0.5*1.5=0.75倍=75
D. 我运气背,第一次亏,第二次还是亏,这样的机会是1/3*1/3=1/9 , 我资金变成0.5*0.5=25

总结一下, 我有4/9 的机会资金 225, 4/9的机会75, 1/9机会25,所以我的期望是 4/9*225+4/9*75+1/9*25=(4*300+25)/9=1.361= 1.17*1.17

请问我理解的漏洞在哪里?

作者: funnyface 时间: 2011-3-19 10:24
回复 21# monox0
你用这种方法，算出的是量的期望，在这个期望中，我们只注意这个方案是否为“有利可图”的，而忽视了其方案在风险上的分布情况。而我所创造的（确实是我创造出来的词，因为不知道这个应该叫什么）几何期望，则是指抛开EV，来看该投资方案下最可能的结果，不是在量上进行计算，而是在“率”上考虑。
如果想得到代数期望的结果，必须要有足够多的取样，而在单次决策中，大数定律是不起作用的，我们只能通过概率判断“最可能发生的结果”，我这个几何期望的概念，就是考虑到风险因素，最可能产生的结果。
当然，这个概念在cash游戏中其实用处不是很明显，但是我觉得在MTT中有很大意义。
根据这个理论，只要有可能导致你破产的投资方案，无论代数期望多大，几何期望均为0。
举一个极端点的例子：
某投资方案，10%的可能获得100倍利润，90%的可能损失100%。这种方案连续投资两次的概率分布为：两次都成功，1/100的概率获利10000倍，其他所有可能，最后收益均为0。
从代数期望上看，这个方案是有利可图的，而且是大大的有利可图的，其EV为100，但是这个并不是说你投入100块钱，就可以获得10000的，而实际情况是，只有当你可以重复这个投资次数足够多时，才可以达到这个EV。代数期望是分析投资方案的结果分布情况，而几何期望则是不管结果，只分析这个投资方案本身带给你的影响。

其实有些东西我也没想的很透，所以解释的不够清楚，但是这个概念应该是没问题的

作者: funnyface 时间: 2011-3-19 11:42
回复 3# monox0
回答一下你之前的问题，方案A的优化结果为：
每次用x的资金投资，方案A的几何期望为(1+x/2)^（2/3）*(1-x/2)^（1/3），求导或拉EXCEL解得x=2/3，取最大值，即每次用2/3的资金进行A投资可以获得最大收益。

方案B的优化结果为：
(1+x/10)^0.9*(1-x/10)^0.1，解得x=9.75时取到最大值，也就是说对方案B，你应該找人借钱，用9.75倍的本金进行投资！

按照我这个理论，只要可能导致你破产的投资，几何期望均为零。当然并不是说几何期望为零就不能投资，只是在几何期望与代数期望发生背离的时候，要慎重进行决策，而几何期望与代数期望均为正的时候，决策更有而已。

如果是MTT选手，在一场比赛中一定会面临相同EV但是对手不同的决策问题，有了几何期望的概念以后，更容易在这种情况下做出更好的选择。
比如说，简化一下情况，你的筹码量在MTT大概排在top 20%，不存在翻倍或是淘汰的压力。大家都亮着牌打，你手里是AKo，你挑一个人拿JQo推你。目前有几个选手可选。
A的筹码量是你的1/5
B的筹码量是你的1/4
C的筹码量是你的1/2
D的筹码量高于你

其实这正是我们在MTT中BN位置附近经常遇到的情况，时候你如何选择？
AK面对JQ，胜率63%左右（没用poker stove算，我大概估计的）
从EV角度来看，EV都为正，都可以call。
在这种MTT中，ICM分析难度较大，一般都要事后分析。
而从几何期望角度分析，就相对容易一些，假设对手的筹码量是你的x倍。63%胜率的期望为(1+x)^0.63*(1-x)^0.37，当x<1/2时，几何期望均为正，而x=0.26时取最大值，所以从几何期望角度考虑B方案最好。

作者: Howard 时间: 2011-3-19 13:08
monox0的21楼是正解，我也看不懂楼主原文的公式。

综合楼主1楼和22楼，我猜他可能是想表达有破产风险时如何决定一系列最佳下注大小的东东。类似Kelly criterion的。Kelly criterion是Blackjack算牌手的bankroll管理法宝。可是楼主举的几个例子都似乎不太合适，好像没说明自己的意思

作者: funnyface 时间: 2011-3-19 13:21
回复 24# Howard
额，大牛出现了。
我确实也觉得举的例子不太合适，而且有些想法还没有清晰的提炼出来，但是我认为我这个想法应该是有些意义的，虽然到底有什么意义现在还没有想的很清楚。
如果howard有时间的话，可不可以也帮着想想这个问题，我提出的这个理论究竟有没有实际的价值。

作者: donot 时间: 2011-3-19 17:10
我的理解：
EV(X)=SUM(Wi*Xi)/SUM(Wi) ，就是加权平均, Wi:权重。
几何EV(X)=EXP( SUM(Wi*log(Xi))/SUM(Wi)), 就是在对数上加权平均。
直观的说就是：我这把-50%，下把+100% 才能会来。所以1/2 stack 要2：1odss才值。
我以前想过类似的问题(股市)，这说明了投资要分散风险。不过LZ用在MTT上不太合适。如果ICM的假设是对的，LZ要考虑的就已经包括了。

作者: donot 时间: 2011-3-20 05:10
回复 26# donot

所以1/2 stack 要2：1odss才值

没说清楚。应该是coin flip时, 如果输是-1/2 stack，赢得有+1stack才值。

作者: monox0 时间: 2011-3-21 11:40
本帖最后由 monox0 于 2011-3-21 11:53 编辑

同意 Howard... LZ 讨论的似乎是Kelly criterion 关联的东西，即如何在一定资产下确保资产增长最大化... 但这不是1次2次可以体现的结果... 可能是100次或者1000次，但实际上，即便按照你的最佳理论，还是很容易破产的，举个例子，比如我有99%的把握赢100，或者1%的把握输100，按你的算法可能要把几乎全部财产拿去赌，可万一是1%，就几乎等于破产了，破产的风险在1-99%^n~ n%(n为游戏次数)

你举的那个ABCD的例子。。。看似好比是一个desicion to make ，可是请问我们每次遇到的情况，哪一次是可以在这ABCD这4个选项中选择的呢？每一次都是一个特定的值吧。另外如果小筹码计算出来每次都是0,那还玩什么呢... 大家都依靠这个策略，应该所有人都在第一轮all in, 因为第二轮开始，他们的几何期望=0 ;lol

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