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标题: 请教一个概率题 [打印本页]

作者: 昆仑苍狼 时间: 2015-4-24 08:55
标题: 请教一个概率题
本帖最后由昆仑苍狼于 2015-4-24 15:15 编辑

有一种彩票发行量N枚 N很大我想知道他的中奖概率
我买了 10000张中了300张
体感概率3%

这个3%的可信度为多少

如果我想测定一个信赖度90%的值
那我至少买多少彩票
95%呢

懒得在网上查了
哪位大神有空请指教一下

作者: 昆仑苍狼 时间: 2015-4-24 15:14
题2

70个球完全随机的进25个洞
允许一洞多球
那么70个球全进完后 25洞全被进入一球以上的概率是多少

作者: 老陈 时间: 2015-4-24 18:18
本帖最后由老陈于 2015-4-24 04:21 编辑

N没给出具体数，难度就大了。

作者: 老陈 时间: 2015-4-24 23:25

昆仑苍狼发表于 2015-4-24 01:14
题2

70个球完全随机的进25个洞

那么70个球全进完后， 25洞全被进入至少一球的概率是：
19.7%。

作者: Howard 时间: 2015-4-25 01:11

昆仑苍狼发表于 2015-4-24 01:14
题2

70个球完全随机的进25个洞

这题出的太坏了，害我俩钟头还没做出来，周末又不能安心打牌了！

作者: 昆仑苍狼 时间: 2015-4-25 07:28

老陈发表于 2015-4-24 23:25
那么70个球全进完后， 25洞全被进入至少一球的概率是：
19.7%。

陈老能不能教教我怎么算的
我用excel模拟了100万次
结果大概是全进20% 剩一个50% 剩两个25%
结果很近应该受正确的

可我不知道怎么算

作者: 昆仑苍狼 时间: 2015-4-25 07:29

老陈发表于 2015-4-24 18:18
N没给出具体数，难度就大了。

N20000
N10万情况
的话
怎么算呢

作者: 昆仑苍狼 时间: 2015-4-25 07:30

Howard 发表于 2015-4-25 01:11
这题出的太坏了，害我俩钟头还没做出来，周末又不能安心打牌了！

哈哈霍斯福加油

作者: 昆仑苍狼 时间: 2015-4-25 07:45
怎么添加签名？
我要把签名改成。最爱老李！

作者: 老陈 时间: 2015-4-25 08:05

昆仑苍狼发表于 2015-4-24 17:28
陈老能不能教教我怎么算的
我用excel模拟了100万次
结果大概是全进20% 剩一个50% 剩两个25%

我也用模拟，考虑过几种解析算法，都没有成功。
模拟程序如下：

   Dim Toatl, Qualify As Double
      Dim Hole(24) As Integer
      Dim Card(8) As Integer
      Dim P1, P2, P4 As Integer
      Dim I1 As Integer
      Randomize()
      Dim Num As Double
      P4 = 0
      While (1)
         For I1 = 0 To 24
            Hole(I1) = 0
            '清空各洞的球数
         Next
         I1 = 0
         While I1 < 70
            '70个球随机进洞
            Num = Rnd()
            P2 = Num * 27
            If P2 > 0 And P2 < 26 Then
                  Hole(P2 - 1) = Hole(P2 - 1) + 1
                  I1 = I1 + 1
                  '确保完全随机，边界上的数字不要
            End If
         End While
         P1 = 1
         '首先认为每个洞都进了球
         For I1 = 0 To 24
            If Hole(I1) = 0 Then
                  P1 = 0
                  '这个洞没有球
                  Exit For
            End If
         Next
         Toatl = Toatl + 1
         Qualify = Qualify + P1
         P4 = P4 + 1
         If P4 = 200000 Then
            TextBox1.Text = Qualify
            TextBox2.Text = Toatl
            TextBox3.Text = Format(Qualify / Toatl, "####.####%")
            P4 = 0
            Me.Refresh()
            '显示结果
         End If
      End While

作者: Howard 时间: 2015-4-25 15:30
你们都模拟，哥就放心了，早晚给你们硬算出来

作者: 老陈 时间: 2015-4-25 18:37

Howard 发表于 2015-4-25 01:30
你们都模拟，哥就放心了，早晚给你们硬算出来

加油，等你的好消息，我也不停努力找解析法。模拟结果可以用来验证解析法。

作者: Howard 时间: 2015-4-27 11:31
本帖最后由 Howard 于 2015-4-26 21:33 编辑

这道题非常难，但我可能稍微有点眉目了。
分好几贴来解决，这样讨论起来也方便点

70个球随机进25个洞，每个球都有70种选择，总的进法是25^70个，这没说的。（假设球不同）

指定某洞为空，那意思就是说70个球每一个都进入了其他的洞。这件事情的概率为
(24/25)^70

假设给洞都编上号，一二三号洞全为空，那意思就是每一个球都进了其他22个洞，概率是
(22/25)^70

作者: Howard 时间: 2015-4-27 11:41
那么现在问题来了

我们知道#1，#2，#3 等等单一洞为空的概率；
我们知道1&2， 2&3， 3&4，等等有且仅有两个洞为空的概率
我们知道1&2&3, 2&3&4 等有且仅有三个洞为空的概率
。。。。。。
我们知道有24个洞为空的概率

我们甚至知道25个洞都为空的概率（0, 不可能事件）

现在求所有洞都非空的概率，咋办

作者: 昆仑苍狼 时间: 2015-4-27 11:53
本帖最后由昆仑苍狼于 2015-4-28 09:40 编辑

Howard 发表于 2015-4-27 11:41
那么现在问题来了

我们知道#1，#2，#3 等等单一洞为空的概率；

呵呵洞编上号球也上号了那计算量可就大了
其实本题很简单答案是
答案应该是西格玛（k=1到25）*（-1）的k次方*c（25，k）*（25-k）的70次方除以25的70次方

喵喵

作者: 昆仑苍狼 时间: 2015-4-27 12:14

Howard 发表于 2015-4-27 11:41
那么现在问题来了

我们知道#1，#2，#3 等等单一洞为空的概率；

你微信能告我一下么
不知道为什么我上传不了照片
我把我的算法给你

作者: Howard 时间: 2015-4-27 13:00

昆仑苍狼发表于 2015-4-26 21:53
呵呵洞编上号球也上号了那计算量可就大了

必须得编号。否则，球不编号的话，你就计算出有多少种放法也不行，因为不是所有放法都是等概率的。

简单来说，3球3洞，你说是3个球都在1号洞概率大，还是每洞一球概率大，显然是后者，因为后者其实有6种（按球可区分），其发生概率是前者的6倍

作者: 老陈 时间: 2015-4-27 18:41

Howard 发表于 2015-4-26 23:00
必须得编号。否则，球不编号的话，你就计算出有多少种放法也不行，因为不是所有放法都是等概率的。

简单 ...

哥用模拟法算出几个数据供验证算法使用：
1个洞为空:36.7%
2个洞为空:28.2%
3个洞为空:11.8%
4个洞为空:3.0%
5个洞为空:0.5%
6个洞为空:0.05%

作者: luckystar 时间: 2015-4-27 21:51

昆仑苍狼发表于 2015-4-24 15:14
题2

70个球完全随机的进25个洞

刚才问了一下孩子，显然他们训练过类似问题，一分钟给出了思路和解析解。我暂时还没发现破绽，需要仔细检查验算一下。

作者: 昆仑苍狼 时间: 2015-4-27 21:57

luckystar 发表于 2015-4-27 21:51
刚才问了一下孩子，显然他们训练过类似问题，一分钟给出了思路和解析解。我暂时还没发现破绽，需要仔细检 ...

你的孩子是干什么的这么牛叉
结果是20%左右就差不多对了

作者: 昆仑苍狼 时间: 2015-4-27 22:03

Howard 发表于 2015-4-27 13:00
必须得编号。否则，球不编号的话，你就计算出有多少种放法也不行，因为不是所有放法都是等概率的。

简单 ...

恩您说的对
双胞胎的男女情况有三种
但一男一女的概率不是33%而是50%

作者: luckystar 时间: 2015-4-27 22:31

昆仑苍狼发表于 2015-4-27 21:57
你的孩子是干什么的这么牛叉
结果是20%左右就差不多对了

孩子在上初中。
暂时还是没发现什么破绽，但是答案却是万分之一点五左右。
思路如下：洞用1表示，球用0表示。
总组合数就是25个1和70个0，结果C（95，25）
凡是1紧左边有0就代表有球进洞，两个或以上1相连就说明有球为空。所以无洞为空就是25个绑定的01和45个0的组合。结果是C(70,25).

用第二个结果除以第一个结果得到答案。

作者: 昆仑苍狼 时间: 2015-4-27 22:43

luckystar 发表于 2015-4-27 22:31
孩子在上初中。
暂时还是没发现什么破绽，但是答案却是万分之一点五左右。
思路如下：洞用1表示，球用0表 ...

你在用这种方法算一下2球进2洞看看是不是2分之1
情况种类对了但是情况的密度不是相等的

作者: luckystar 时间: 2015-4-27 22:57

昆仑苍狼发表于 2015-4-27 22:43
你在用这种方法算一下2球进2洞看看是不是2分之1
情况种类对了但是情况的密度不是相等的
...

有道理，多谢指正！我看看能不能按这个思路改进一下。

作者: Howard 时间: 2015-4-28 08:22
本帖最后由 Howard 于 2015-4-27 20:02 编辑

Howard 发表于 2015-4-26 21:41
那么现在问题来了

我们知道#1，#2，#3 等等单一洞为空的概率；

接第14楼，用概率符号表示，

假设A1 (1为下标) 表示1号洞为空，A2表示2号洞为空，。。。。。 Aj表示第j号洞为空，。。。。A25表示第25号洞为空

则我们最后求的概率是
1 - P（A1∪A2∪A3∪A4∪.... A25）

要想求出这个概率，就要使用一个定理叫做Inclusion-Exclusion.
这个定理基本上是说，你要想求一堆东西的并集的发生概率，可以这样做：
1. 先求出单个元素的发生概率，将其相加
2. 再从中减去所有两两元素同时发生的概率
3. 再从中加上所有三元素同时发生的概率
4. 再从中减去所有四元素同时发生的概率
.....
n. 最后从中加上（也可能是减去，取决于n的奇偶）所有n元素同时发生的概率

用到这一题上，就是
P（A1∪A2∪A3∪A4∪.... A25）
= P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(A25)
- P(A1∩A2) - P(A1∩A3)- P(A1∩A4)- P(A2∩A3) ..... 【本行共C(25,2)项】
+ P(A1∩A2∩A3) + P(A1∩A2∩A4) + P(A1∩A3∩A4) + P(A2∩A3∩A4)  ..... 【本行共C(25,3)项】
....
+ P (A1∩A2∩A3∩A4∩A5....∩A25)

由对称性，P(A1) = P(A2) = P(A3) = .... =P(A25)P(A1∩A2) = P(A1∩A3) = P(A1∩A4) = P(A2∩A3) = .... =P(A24∩A25)
P(A1∩A2∩A3) = P(A1∩A3∩A4) =  .... =P(A23∩A24∩A25)
.....

也就是说，P括号里面只要项数相同，概率都一样。

则
P（A1∪A2∪A3∪A4∪.... A25）
= C(25,1) * P(A1)
-  C(25,2) * P(A1∩A2)
+ C(25,3) * P(A1∩A2∩A3)
- C(25,4) * P(A1∩A2∩A3∩A4)
....
+C(25,25) * P (A1∩A2∩A3∩A4∩A5....∩A25)  【此行为0】

根据13楼的研究成果，上式
= C(25,1) * (24/25)^70
- C(25,2) * (23/25)^70
+ C(25,3) * (22/25)^70
- C(25,4) * (21/25)^70
...
+(-1)^j * C(25,j) * ((25-j)/25)^70
...
+C(25,25) * 0

通过Excel计算（不用VBA编程），结果是：
0.803264

所以，25洞均不为空的概率就是1 - 0.803264 = 0.1968 = 19.68%

作者: 昆仑苍狼 时间: 2015-4-28 09:24

Howard 发表于 2015-4-28 08:22
接第14楼，用概率符号表示，

假设A1 (1为下标) 表示1号洞不为空，A2表示2号洞不为空，。。。。。 Aj表示 ...

很接近了

答案应该是西格玛（k=1到25）*（-1）的k次方*c（25，k）*（25-k）的70次方除以25的70次方

作者: Howard 时间: 2015-4-28 09:30

昆仑苍狼发表于 2015-4-27 19:24
很接近了

答案应该是西格玛（k=1到25）*（-1）的k次方*c（25，k）*（25-k）的70次方除以25的70次方

sorry，你贴这个的时候我袅悄的改了一下原文。公式跟你的完全一致

作者: 昆仑苍狼 时间: 2015-4-28 09:37

Howard 发表于 2015-4-28 09:30
sorry，你贴这个的时候我袅悄的改了一下原文。公式跟你的完全一致

作者: 昆仑苍狼 时间: 2015-4-28 09:41
本帖最后由昆仑苍狼于 2015-4-28 09:45 编辑

Howard 发表于 2015-4-28 09:30
sorry，你贴这个的时候我袅悄的改了一下原文。公式跟你的完全一致

请看15楼

作者: Howard 时间: 2015-4-28 09:59

昆仑苍狼发表于 2015-4-27 19:41
请看15楼

15楼咋那么屌呢？直接给出来了。

作者: Howard 时间: 2015-4-28 10:17

luckystar 发表于 2015-4-27 08:31
孩子在上初中。
暂时还是没发现什么破绽，但是答案却是万分之一点五左右。
思路如下：洞用1表示，球用0表 ...

这孩子必须得鼓励一下，很有数学天赋。他用的这个办法叫做partition，是用于把n个相同的球放在m个不同盒子里的放法，一共有C（n+m-1, n）种。

n个球：
○○○○○○○...○○

m个盒子把它们装起来，可以想象用m-1个隔板把这n个球隔开，隔板直接相邻代表盒子为空
○|○○||○○○|○

如果我们把每一个隔板也看作小球，就是这样：
○●○○●●○○○●○

这就把问题转化为，一共有n+m-1个小球，从中挑出m-1个。所以结果是C（n+m-1, n）种

这个方法非常巧妙，如果不用这个方法而硬求，也能求出来，却要复杂几十倍。

作者: 昆仑苍狼 时间: 2015-4-28 10:20
本帖最后由昆仑苍狼于 2015-4-28 10:28 编辑

Howard 发表于 2015-4-28 09:59
15楼咋那么屌呢？直接给出来了。

刚才编辑的lol

开个玩笑

霍师傅数学功底十分了得
不过更让在下佩服的是孜孜不倦的转眼精神

本题其实是stirling组合数原来前辈们早就给我们答案了
我昨天才发现

越是这种时候越感到计算机的强大
直接一摸你马上出结果
老陈的模拟结果的确很赞啊几乎一模一样

作者: 昆仑苍狼 时间: 2015-4-28 10:26

Howard 发表于 2015-4-28 10:17
这孩子必须得鼓励一下，很有数学天赋。他用的这个办法叫做partition，是用于把n个相同的球放在m个不同盒子 ...

的确说实话我昨天向你要微信的时候就是这种方法我也算出了万分之1。5
但是你没给我微信lol
后来我看你把球洞都编号了知道自己错了

这种方法是我在高中的时候才学会的
这孩子还在上初中就会实在是很厉害

幸运之星真的很幸运有个很聪明的孩子
几年之后肯定也是个德扑高手

作者: maomaobiao 时间: 2015-4-28 10:32
第一题，具体的计算公式我没有列出来，尝试了一下，太复杂了。

做了一个简单的模拟，涉及原始的奖票池有N张，其中n张有奖；买了X张，其中x张有奖。

当N=100，n=5，X=50的时候，第一次模拟的结果就是x=5，由此可见这种方法预测的偏差很大，可信度太低。

那么这个可信度和N,n,X相关，当认为N很大（咱先不用无穷大），但是n很小（小于5%）的时候

X需要非常接近N才不会得出中奖概率差一倍那样离谱的结果。

多次取样求平均的结果，可能更接近实际中奖概率，但不在本计算方法之内。

作者: 昆仑苍狼 时间: 2015-4-28 10:46

老陈发表于 2015-4-24 23:25
那么70个球全进完后， 25洞全被进入至少一球的概率是：
19.7%。

老陈你亮了
你的模拟结果100%正确

作者: 昆仑苍狼 时间: 2015-4-28 10:48

maomaobiao 发表于 2015-4-28 10:32
第一题，具体的计算公式我没有列出来，尝试了一下，太复杂了。

做了一个简单的模拟，涉及原始的奖票池有N ...

大侠现身

作者: 昆仑苍狼 时间: 2015-4-28 10:49

Howard 发表于 2015-4-28 09:59
15楼咋那么屌呢？直接给出来了。

第一题也帮看看呗我是真不会阿

作者: luckystar 时间: 2015-4-29 08:12

Howard 发表于 2015-4-28 10:17
这孩子必须得鼓励一下，很有数学天赋。他用的这个办法叫做partition，是用于把n个相同的球放在m个不同盒子 ...

谢谢Howard兄弟对我孩子的鼓励，他确实对数学很有兴趣。
今天下午他刚参加了USAJMO Day1的比赛，所以昨天不想分散他太多精力，我就给他一分钟时间，告诉他如果没有思路就算了:-)。

作者: luckystar 时间: 2015-4-29 08:14

昆仑苍狼发表于 2015-4-28 10:26
的确说实话我昨天向你要微信的时候就是这种方法我也算出了万分之1。5
但是你没给我微信lol
后来我看你 ...

谢谢！数学确实是成为德扑高手的必要条件:-)

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