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标题: 问个概率问题 [打印本页]

作者: Howard 时间: 2010-2-16 01:49
标题: 问个概率问题
跟扑克没啥关系。

有一场纯运气的比赛，180人参赛，报名费550刀，奖金是这样分布的：

第1名 60K
第2名 35K
第3名 25K
第4名 17K
第5名 10K
第6名 7K
7-15：4.5K
16-30：2K
31-60：1K

总奖金250K，报名费总和仅有99K，可见赌场有超过1倍的overlay。一张票面的EV是250K/180=1389刀。

假设某人要stake其他人打这个比赛。他总共选了10个选手，协定如果进入钱圈，则选手分得10%（不用pay back报名费），他自得90%；如果未进钱圈，则选手和他两不相欠。

问：该人蚀本的概率有多大？若想把蚀本概率降低到20%以下，该人要stake多少人？

（注：该问题即：多个符合同一函数的独立变量之和的新函数怎么计算？最近脑子有点不灵，弄不出来）

作者: Howard 时间: 2010-2-19 07:03
标题: 问个概率问题
没人理，自己更新一下。

公式没总结出来，用Excel的Rand（）函数做了480多次模拟，每次模拟均为选12人，每人名次随机分布于1-180名。

结论是收入高于支出（6600）的机会是48%，基本上一半。血本无归的可能性是1%（4次）。

当然EV是很好计算的，11K多一点。

觉得这个分布类似multinominal，但又不完全相同。

作者: llyyzz 时间: 2010-2-19 07:23
标题: 问个概率问题

跟扑克没啥关系。

有一场纯运气的比赛，180人参赛，报名费550刀，奖金是这样分布的：

第1名 60K
第2名 35K
第3名 25K
第4名 17K
第5名 10K
第6名 7K
7-15：4.5K
16-30：2K
31-60：1K

总奖金250K，报名费总和仅有99K，可见赌场有超过1倍的overlay。一张票面的EV是250K/180=1389刀。

假设某人要stake其他人打这个比赛。他总共选了10个选手，协定如果进入钱圈，则选手分得10%（不用pay back报名费），他自得90%；如果未进钱圈，则选手和他两不相欠。

问：该人蚀本的概率有多大？若想把蚀本概率降低到20%以下，该人要stake多少人？

（注：该问题即：多个符合同一函数的独立变量之和的新函数怎么计算？最近脑子有点不灵，弄不出来）

刚看到这贴。感觉把每人得名次的概率假设成符合同一概率分布函数有点问题，因为每人的能力是不一样的。。。但既然是纯运气的比赛，假设这个前提是正确的。

首先，如果每个人都是uniform能得到从1到180名之间的名次（你的模拟应该就是符合这种情况），那么可以参见 uniform sum distribution，

<a class="postlink" href="http://mathworld.wolfram.com/UniformSumDistribution.html">http://mathworld.wolfram.com/UniformSum ... ution.html</a>

作者: llyyzz 时间: 2010-2-19 08:24
标题: 问个概率问题
刚才要赶车，回得急了点。刚才说的只是选手得到名次和的概率分布，但我们关心的是奖金和的概率分布，由此就可以得到破产和赢利的概率分布。奖金和名次是一个阶梯函数，具体在计算上，也不完全是等同在1到180之间uniform分布，而是180，179，178……这样分布下去，前面选手的名次会影响后面的收益。所以，具体是什么样的分布还真不好算，模拟应该是首选。 [s:152]

作者: jason12636 时间: 2010-2-19 08:31
标题: 问个概率问题
太深奥了吧，不是很懂

作者: aiwill 时间: 2010-2-19 11:39
标题: 问个概率问题
这个....似乎只能模拟了.. 想分布麻烦了点. 如果再把90%/10%设为自变量就更麻烦了.

此外霍华德兄在某杂志(名字忘了,汗.)的技术文章真不错! 57律那篇. 喜欢!

作者: omi5420 时间: 2010-2-19 12:58
标题: 问个概率问题
我朋友也用穷举的方法模拟了一次，10人的情况下模拟1W次
收益大于0的次数 6232
收益等于0的次数 266
收益小于0的次数 3502

作者: llyyzz 时间: 2010-2-19 15:21
标题: 问个概率问题
我也模拟了一下，以下2个图是模拟10000次的结果。

第一个图是资助的参赛人数和平均收益的曲线图。毫无疑问，如果能资助全部180人，那净收益最大化为155k。10人时，10000次模拟平均收益是8689。

第二个图是参赛人数为10人，收益的直方图，每个bar的range是2000. 总体结果跟楼上朋友的结果一致：收益为负的概率为35%，为零的概率为3.17%，为正的概率为61.83%

作者: Howard 时间: 2010-2-19 22:42
标题: 问个概率问题

这个....似乎只能模拟了.. 想分布麻烦了点. 如果再把90%/10%设为自变量就更麻烦了.

此外霍华德兄在某杂志(名字忘了,汗.)的技术文章真不错! 57律那篇. 喜欢!

谢谢喜欢！杂志叫做《扑士》，忘了名字的话这里很多人会内牛满面的！

作者: Howard 时间: 2010-2-19 22:46
标题: 问个概率问题

我朋友也用穷举的方法模拟了一次，10人的情况下模拟1W次
收益大于0的次数 6232
收益等于0的次数 266
收益小于0的次数 3502

恩，看来我的模拟有点问题，次数太少，而且不是绝对的随机。我模拟“选12人”而不是选10人，收益大于0才刚刚不到50%。我是做了500个单人的随机，然后再从这500人里面选出1-12号，2-13号，3-14号，以此类推。这样随机性就很差，不能叫做随机了。

作者: Howard 时间: 2010-2-19 22:51
标题: 问个概率问题

我也模拟了一下，以下2个图是模拟10000次的结果。

第二个图是参赛人数为10人，收益的直方图，每个bar的range是2000. 总体结果跟楼上朋友的结果一致：收益为负的概率为35%，为零的概率为3.17%，为正的概率为61.83%

赞专业！是用Matlab画得图吧

第一个图我理解，赞助人数跟收益EV成直接正比

第二个图有点看不懂，横坐标“number of times”应该是次数，为什么还有负值呢？另外我觉得是不是纵坐标做次数，横坐标做收益更好理解一些。可惜我手头没有matlab。

作者: Howard 时间: 2010-2-19 22:55
标题: 问个概率问题
出这个这个题目是因为这就是下个月的一个比赛，里面的数据都是真实的。这个比赛不是poker，而是blackjack，也有技术成分但是比poker小多了，所以假设大家水平相当。

我就是那个资助人，预计除我自己之外再找10-12人参赛，他们的收益10%-15%不等，跟名次有关。

作者: llyyzz 时间: 2010-2-20 00:39
标题: 问个概率问题
自己汗一个，第二个图把横纵坐标label写反了。。。是用的matlab画的，正好手上有，呵呵

横坐标是平均收益，众坐标是该收益的次数。这样，横轴有小于零情况是因为存在破产的情况，每个bar代表2000收益。比如，最左边那个bar代表收益为－5500到－3500出现的次数在10000次模拟里面有不到200次，意思是大约略小于2%的概率为最坏的破产状况。其他情况类推。昨天画的图忘了加0.9的比例分成，今天这个新图加上了。

作者: llyyzz 时间: 2010-2-20 01:08
标题: 问个概率问题
又做了3个100w次的模拟，分别对应10人参赛，11人参赛和12参赛的结果。我产生名次的方法是用matlab里面离散随机函数生成器 N = unidrnd(180, 1, NumOfPeople)。收益分成为固定0.9:0.1. Good Luck! [s:146]

NumOfPeople＝10人情况，收益为neg =  358063次， zero = 29403次， pos = 612534次

NumOfPeople＝11人情况，收益为neg =  369376次， zero = 0次， pos =  630624次

NumOfPeople＝12人情况，收益为neg =  352251次， zero = 0次， pos =  647749次

作者: Howard 时间: 2010-2-20 01:40
标题: 问个概率问题

又做了3个100w次的模拟，分别对应10人参赛，11人参赛和12参赛的结果。我产生名次的方法是用matlab里面离散随机函数生成器 N = unidrnd(180, 1, NumOfPeople)。收益分成为固定0.9:0.1. Good Luck! [s:146]

NumOfPeople＝10人情况，收益为neg =  358063次， zero = 29403次， pos = 612534次

NumOfPeople＝11人情况，收益为neg =  369376次， zero = 0次， pos =  630624次

NumOfPeople＝12人情况，收益为neg =  352251次， zero = 0次， pos =  647749次

这个帖子好，所有问题全部解决！谢谢做模拟啊

可以推断的是正收益的百分比也是随着我的“马”增多而单调增加的。

有意思的是三个图都分别在5-6万左右有个小峰值，应该是马中出现夺冠的情况。看来这个总分布并非普通单峰值那种。

大峰值都在0附近，也即是说最大的可能还是保本或者略有盈亏。但0右侧的bar面积（此面积应该是EV）远大于0左侧的面积，就靠这个面积差盈利了。

作者: llyyzz 时间: 2010-2-20 02:54
标题: 问个概率问题
Howard兄，实在对不住。刚刚发现我的模拟程序有个bug（具体情况是，在奖金为负的情况下，也把奖金分成乘以0.9并累加进结果……），导致上面的模拟结果都大大的有问题。新的结果虽然不影响基本结论，但实际赢利的概率已经大大不如之前错误模拟的情况（大约为63% vs 57%）。幸亏我提前发现了，汗……

还是在固定0.9:0.1的情况下，10人的情况变为：
Mean = 7.2117e+003， stdev = 1.6126e+004， neg = 423810， zero = 0， pos = 576190

如果能把具体每个名次的奖金分成比例pm给我，模拟收益的结果还会更精确一些。比如，得到第一名的奖金分成是0.85:0.15，其他不变，10人情况结果变为：
Mean ＝ 7.0500e+003， stdev = 1.5607e+004， neg = 424403， zero = 0， pos = 575597

可以看到，将第一名的奖金分配降低5个百分点，其他分配方式不变，虽然此种情况对于整体赢利破产概率影响不大，但平均收益将降低160刀左右（2个百分点），而stdev也将降低500刀（3个百分点）。

作者: aiwill 时间: 2010-2-20 14:40
标题: 问个概率问题
LL和霍华德两位用不用QQ啊,加一个~~~~

作者: Howard 时间: 2010-2-20 14:46
标题: 问个概率问题

Howard兄，实在对不住。刚刚发现我的模拟程序有个bug（具体情况是，在奖金为负的情况下，也把奖金分成乘以0.9并累加进结果……），导致上面的模拟结果都大大的有问题。新的结果虽然不影响基本结论，但实际赢利的概率已经大大不如之前错误模拟的情况（大约为63% vs 57%）。幸亏我提前发现了，汗……

还是在固定0.9:0.1的情况下，10人的情况变为：
Mean = 7.2117e+003， stdev = 1.6126e+004， neg = 423810， zero = 0， pos = 576190

如果能把具体每个名次的奖金分成比例pm给我，模拟收益的结果还会更精确一些。比如，得到第一名的奖金分成是0.85:0.15，其他不变，10人情况结果变为：
Mean ＝ 7.0500e+003， stdev = 1.5607e+004， neg = 424403， zero = 0， pos = 575597

可以看到，将第一名的奖金分配降低5个百分点，其他分配方式不变，虽然此种情况对于整体赢利破产概率影响不大，但平均收益将降低160刀左右（2个百分点），而stdev也将降低500刀（3个百分点）。

你真是太认真了，多谢！57%能盈利也算是相当不错了，比我预想的还好好。

我实际的盈利分配是这样的：“马”获得第一名 15%，2-6名 13%，7-15名 12%，16-31名 11%， 31-60名10%。这样我估计盈利指标可能要从57%跌倒55%左右，也不错。

作者: llyyzz 时间: 2010-2-21 04:43
标题: 问个概率问题

我实际的盈利分配是这样的：“马”获得第一名 15%，2-6名 13%，7-15名 12%，16-31名 11%， 31-60名10%。这样我估计盈利指标可能要从57%跌倒55%左右，也不错。

OK, 上我自认为正确的结果 [s:165] 看来也就是第一名的奖金分配对结果影响稍大，其他的分配方式改动太小，对于结果基本没有影响。从生成的图来看，12人的结果比其他两个图“好看”了不少，赢率也上升到了60%+ ：）

10人赢利概率 = 57.52%, Mean = 6837, Stdev = 15430

11人赢利概率＝ 59.18%, Mean = 7508, Stdev = 16100

12人赢利概率＝ 61.97%, Mean = 8265, Stdev = 16950

作者: llyyzz 时间: 2010-2-21 04:57
标题: 问个概率问题
另外做了两个图（每次发帖最多3个附件），关于参加人数和平均收益，标准差，最大赢利，最大损失以及赢率的关系图。当然，最大赢利和最大损失那两条曲线看看玩就行了，当不得真。

作者: Howard 时间: 2010-2-21 16:10
标题: 问个概率问题
我靠，matlab被你玩出花来了，让我回忆起了做research assistant时的痛苦经历，呵呵。多谢了！看来要想赢率大于80%，得搞30多匹马，呵呵

作者: Howard 时间: 2010-3-16 01:05
标题: 问个概率问题
收一下官。

周六打了这个比赛，最终结果是bottom 5%的运气，连我在内的12名选手，只有2名选手进入第二轮（第一轮进第二轮的机会是6进2），无人进入第三轮（第二轮进第三轮6进3）。这样，我的6600投资只收回了1800。

虽然从结果看，投资失败了，但我对本次投资相当满意。到哪里去找如此黄金的机会投资收益翻倍呢？多谢llyyzz的计算，这个计算给了我很大的信心。唯一有点遗憾的是，输了钱要面对家人的质疑和情绪。我想，这是版内无数扑士都要面对的。我们自己懂概率/EV/风险投资比/Variation/Deviation，并不意味着别人也懂，而且很难给别人解释通。毕竟，我自己没弄这些以前，也是都从结果来评判决策，以成败论英雄的。所以，我真正的战役，是要用感情和坦率来感化家人，获取继续支持。所幸，我打赢了。

我自己的Blackjack Tournament第一轮是这样的：6人桌，2000筹码起步，前2人晋级，每手牌最少押25，最多全进。

我在还剩5手牌的时候大概是2000筹码整，排在第4-5位。我算了算正好我在最后一手牌是Last Action（纽扣），于是我把目标定在倒数第二手牌获得第二位或者跟第二位相距不远即可。果然，运气不错，倒数第二手牌结束后我大概3200，位于第二，第一大概4000，其他人从1600到2800不等。

最后一手牌，除了CL压了大概200之外，其他人都全进，我一看乐坏了，我只要剩下一点点筹码就可以win high and win low. 也就是说大家全赢和大家全输，我都能确保前2名。于是我剩下25，吧其余筹码全押。牌一发下来傻眼了，除了一个短筹码爆点外，其他人都是19或者20，我只有13，dealer是个7。我一看，我必须要取胜才行，dealer保掉的可能性不到30%，但是如果我自己要牌，我爆掉可能性5/13，所以还得要牌，一要，来个10，直接完蛋。Dealer自己没发出能救我命的21点，我遗憾出局。

作者: llyyzz 时间: 2010-3-16 03:16
标题: 问个概率问题

收一下官。

周六打了这个比赛，最终结果是bottom 5%的运气，连我在内的12名选手，只有2名选手进入第二轮（第一轮进第二轮的机会是6进2），无人进入第三轮（第二轮进第三轮6进3）。这样，我的6600投资只收回了1800。

虽然从结果看，投资失败了，但我对本次投资相当满意。到哪里去找如此黄金的机会投资收益翻倍呢？多谢llyyzz的计算，这个计算给了我很大的信心。唯一有点遗憾的是，输了钱要面对家人的质疑和情绪。我想，这是版内无数扑士都要面对的。我们自己懂概率/EV/风险投资比/Variation/Deviation，并不意味着别人也懂，而且很难给别人解释通。毕竟，我自己没弄这些以前，也是都从结果来评判决策，以成败论英雄的。所以，我真正的战役，是要用感情和坦率来感化家人，获取继续支持。所幸，我打赢了。

不用客气，howard兄。cft，家人的支持比什么都重要。

我想问题可能出在关于uniform distribution这个假设上，我开始以为比赛是flat的结构，模拟也是按这个假设来的。感觉tounament这种晋级结构对于模拟结果应该有影响，比如参赛的12个人分组情况（分在同一组的话，显然会影响出线结果）。有机会可以详细验证一下。

作者: Howard 时间: 2010-3-16 05:15
标题: 问个概率问题
比赛虽然是晋级制，但假设为Uniform Distribution还是可行的，只要我的“马群”水平跟大家都差不多。至于多个马在同一桌的问题，我觉得这只会影响variation，不影响EV。比如，12个人分在12张不同桌子上，可能会12人全进下一轮，也可能12人全军覆灭，但期望值是4人晋级；如果12人全部分在两张桌子上，则一定是4人晋级。你的计算我觉得没啥问题。

作者: pokerbean 时间: 2010-3-16 05:41
标题: 问个概率问题

比赛虽然是晋级制，但假设为Uniform Distribution还是可行的，只要我的“马群”水平跟大家都差不多。至于多个马在同一桌的问题，我觉得这只会影响variation，不影响EV。比如，12个人分在12张不同桌子上，可能会12人全进下一轮，也可能12人全军覆灭，但期望值是4人晋级；如果12人全部分在两张桌子上，则一定是4人晋级。你的计算我觉得没啥问题。

作者: Howard 时间: 2010-3-16 12:52
标题: 问个概率问题

[quote="Howard":2gnv8ddm]比赛虽然是晋级制，但假设为Uniform Distribution还是可行的，只要我的“马群”水平跟大家都差不多。至于多个马在同一桌的问题，我觉得这只会影响variation，不影响EV。比如，12个人分在12张不同桌子上，可能会12人全进下一轮，也可能12人全军覆灭，但期望值是4人晋级；如果12人全部分在两张桌子上，则一定是4人晋级。你的计算我觉得没啥问题。

知道霍老师是21点的老研究生，照说不该质疑老师说的，不过有个疑问实在忍不住：除了晋级赛制的问题，更大的问题就在大前提，你说“有一场纯运气的比赛”，我觉得不对啊，21点作为现金游戏说“纯运气”没错，可是作为比赛就不是了吧？比方说，你自己就在最后一轮的比赛里及时地做出判断，选择了能让自己胜率最高的下注策略（在这里要深表佩服一哈，能在乱哄哄的牌桌上在几秒钟内做出最佳选择，那个CHIPLEADER我不知道他的位置但显然就没有），但问题也就在此，如果你的其它“马”不能在类似形势下选择正确下注策略，不就会输掉本不该输的比赛吗？[/quote:2gnv8ddm]

老研究生碰到了老教授，接受答辩。你说得很对，那个cihp leader做出了一个比较糟糕的决定，他大概第2个反应，但是他应该确保自己赢牌的话能得到第二名才对。他下注太小。所幸我这个老二输了，还有一个中等筹码也输了，赢了的三个中等筹码中，只有1个赶上他了，所以他还是晋级了。

通过我很多次BJ比赛的观察，多数人都水平相当差，基本没有什么准星，能把Blackjack基本策略打好就算不错了。我挑选的马群，大部分是poker dealer或者blackjack dealer，也有一部分pokerplayer。这帮人至少还是懂得BJ基本策略的。打过poker比赛的马，对最后一手牌的下注策略也应该有一定直觉判断。所以我可以说，我的马群虽未必比平均水平高多少，但不至于差很多。

从他们的场下表现，还是犯了不少错误，典型的是最后还剩3个人，2晋级，他们筹码位置居中，大筹码押小，小筹码全进，他们也全进。这是非常严重的错误，应该是留一个筹码，剩余的全进，这样完全可以cover小筹码的那个人。此类错误我相信其他人也犯了不少，总起来说运气成分太大，我觉得比扑克比赛大得多。

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