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标题: 闲着没事，弄道数学题，大家来算一下 [打印本页]
作者: 老陈    时间: 2012-11-29 05:41
标题: 闲着没事，弄道数学题，大家来算一下
本帖最后由 老陈 于 2012-11-28 15:42 编辑

有个水池容积300升，装满15度（摄氏度，下同）的水。逐渐加入75度的水，池子里的水就逐渐溢出。问加入多少升75度水时，池子里的水温升高到35度？
假设：加入热水后，池子里的水迅速变成相同温度；过程中与外界没有热交换。
作者: 竹林居士    时间: 2012-11-29 18:30
本帖最后由 竹林居士 于 2012-11-29 04:47 编辑

试一下：
如果排溢出都是15度，则加入100升75度的水，池中的水就可以达到35度。可是溢出的水温度不断升高，这就导致热量＂损失＂，因此必须多加热水。估计答案在121和122之间，以后再详细计算。
作者: Howard    时间: 2012-11-30 04:31
@德芙！强烈要求dfu来试一试。
作者: maomaobiao    时间: 2012-11-30 09:31
本帖最后由 maomaobiao 于 2012-11-30 11:33 编辑

这题两个“隐含条件”

热交换率无限大（热容=0）

总水量保持不变（单位时间的体积变化为 0），虽然加水的速度不知道，但是对于最后的体积计算应该不影响。

粗略想了一下，是个简单的常积分，但是积分项之中有原函数。怎么转化求解都忘光光了。。。。

好在知道偷懒，加水的速度取极端的条件就可以了，就是一次交换瞬间完成达到温度35

上升20，下降40，原总体积300，加入的水的体积就是150。

待验证。
作者: 老陈    时间: 2012-11-30 13:17
maomaobiao 发表于 2012-11-29 19:31
这题两个“隐含条件”

热交换率无限大（热容=0）

经验证，加入150升75度的水，池内水温将升至38.6度。
作者: notch    时间: 2012-11-30 13:57
假设总共加入了x升水，那么排出的也是x升水
当每次加入的水都很少的时候
排出的水温从15度连续到35，那么排出的x升水应该平均温度在25度
300*15+75*x = 300*35 + 25*x
x=120
作者: 老陈    时间: 2012-11-30 15:33
notch 发表于 2012-11-29 23:57
假设总共加入了x升水，那么排出的也是x升水
当每次加入的水都很少的时候
排出的水温从15度连续到35，那么排 ...

水温开始升高得快，后来升高得慢，不是线性的，这样导致排出的水平均温度高于算术平均值。也就是说，加入120升，水温达不到35度。
作者: dfu2012    时间: 2012-11-30 19:16
假设每次的水温变化满足如下公式：

令 f(0)=15，每次加y升水作为一个变化单位，总共加入x升水后的温度为f(x)，则：

f(x+y)=(y*75+300*f(x))/(300+y)。令y=0.001，越小精度越高

EXCEL做个公式自调用，当F(X)=35，得出需要加的水大约=121.65升. 。
这个解法有点投机取巧，而且也不知道对不对。
作者: Howard    时间: 2012-11-30 22:44
dfu2012 发表于 2012-11-30 05:16
假设每次的水温变化满足如下公式：

令 f(0)=15，每次加y升水作为一个变化单位，总共加入x升水后的温度为f( ...

精妙！坐等老陈评论
作者: 老陈    时间: 2012-12-1 02:02
本帖最后由 老陈 于 2012-11-30 12:04 编辑

dfu算的与精确结果最接近，我也经常使用模拟的方法来解决一些复杂的问题。
这个结果误差很小，产生原因是每次加入无穷小，才与精确结果更接近，但用Excel 太小了计算次数就会增多，产生的舍入误差增大，难以两全。
作者: 竹林居士    时间: 2012-12-1 02:34
本帖最后由 竹林居士 于 2012-11-30 15:13 编辑

这回我仔细解一下：


设某一时刻加热水的量为V，池内温度为T，
每次加入dV体积的75度的水，产生的温度变化为dT。
得到如下关系式：
dT=（75-T）／300*dV
dV/dT=300／（75-T）
当dT和dV都趋近于零时，就是T对V的导数，找出原函数：
V=-300ln(75-T)+D
其中ln是自然对数，D为任意常熟
进行一下变换得到：
T=75-C*Exp(-V/300)
C是一个任意常数，与D的数值和意义都不同
当V=0时T=15
解出C=60
即：
T=75-60Exp(-V/300)
令T=35
V=-300*ln((75-35)/60)=121.64
作者: bedok    时间: 2012-12-1 23:41
竹林不错不错，活学活用
作者: maomaobiao    时间: 2012-12-2 06:18
竹林居士 发表于 2012-12-1 04:34
这回我仔细解一下：

回归本质了，简单而精妙阿

惭愧我的都忘光光了。
作者: 老陈    时间: 2012-12-2 07:30
竹林居士 发表于 2012-11-30 12:34
这回我仔细解一下：



解法完全正确。
作者: dfu2012    时间: 2012-12-4 18:14
老陈这个题确实好，竹林的解答也非常的干净简洁。

我试着用原始的方法来求解这题，

令 f(0)=15，每次加1/N升水作为一个变化单位，N为整数，总共加入体积x升水后的温度为f(x)，则：

f(x+1/N)=(75/N+300*f(x))/(300+1/N) =（75+300N*F(X))/(300N+1),若以1/N升水为1个变化单位，那么x相应也转换为以1/N做单位,实际加水量V=X/N升，X这个时候为整数：

f(x+1)*(300n+1)=75+300N*F(X), (f(x+1)-f(x))/(f(x)-f(x-1))=300n/(300n+1)，初始条件F(0)=15

解得：F(X)=15+60*(1-(300N/(300N+1))^X-60/(300N+1），X=VN（V即以升做单位时候的加水量），当N趋向无穷大时，60/(300N+1）可忽略为0，F(X)亦即加水V升后的温度，

即：F(V)=15+60*(1-(300N/(300N+1))^VN=75-60*（（300N/(300N+1))^VN）

（300N/(300N+1))^VN=（1+1/300N）^(-NV)=（（1+1/300N）^(300N*(-V/300))

已知当N趋向无穷大时 自然常数E =(1+1/N)^N, 即（1+1/300N）^300N = E

那么（300N/(300N+1))^VN= E^(-V/300)=EXP(-V/300),

即： F(V)=15 + 60*EXP(-V/300)

和老陈竹林的结果一致。

咱农耕时代的原始武器也能击中猎物，殊途同归啊。

：）


作者: 老陈    时间: 2012-12-4 20:57
本帖最后由 老陈 于 2012-12-4 16:20 编辑
dfu2012 发表于 2012-12-4 04:14
老陈这个题确实好，竹林的解答也非常的干净简洁。

我试着用原始的方法来求解这题，


解法精妙，虽说过程复杂一点，但从建模到推理每一步都非常严谨。和竹林走的不同路，到达了同一终点。佩服二位。
但dfu兄的结果是不是：
F（V）=75-60EXP（-V／300）
球运到了接近球门线，无人防守，是不是故意让别人射门啊？
作者: 老陈    时间: 2012-12-7 18:13
本帖最后由 老陈 于 2012-12-7 04:35 编辑

我的计算过程和dfu相近

共加入V升，每次加入1/N升
得：
F(1/N)=F(0)+(75-F(0)/300/N=F(0)(1-1/300/N)+75/300/N
F(2/N)=F(1/N)(1-1/300/N)+75/300/N
F(3/N)=F(2/N)(1-1/300/N)+75/300/N
…
F((k-1)/N)=F((k-2)/N)(1-1/300/N)+75/300/N
F(k/N)=F((k-1)/N)(1-1/300/N)+75/300/N
将F(1/N)代入到F(2/N)
得：
F(2/N)=F(0)(1-1/300/N)^2+75/300/N+75/300/N(1-1/300/N)
再将F(2/N)代入到F(3/N)
得：
F(3/N)=F(0)(1-1/300/N)^3+75/300/N+75/300/N(1-1/300/N)+ 75/300/N(1-1/300/N)^2
….
到最后一行时得到：
F(k/N)=F(0)(1-1/300/N)^k+75/300/N+75/300/N(1-1/300/N)+ 75/300/N(1-1/300/N)^2+…+75/300/N(1-1/300/N)^(k-1)
计算得到：
F(k/N)=F(0)(1-1/300/N)^k+75/300/N(1-(1-1/300/N)^k)/(1-(1-1/300/N))
F(k/N)=F(0)(1-1/300/N)^k+75(1-(1-1/300/N)^k)
当k/N=V时
F(V)=F(0)(1-1/300/N)^(NV)+75(1-(1-1/300/N)^(NV))
当N趋于无穷大时
Limit  (1-1/300/N)^(NV)=exp(-V/300)
F(V)=F(0) exp(-V/300)+75(1- exp(-V/300))
代入F(0)=15
F(V)= 75-60 exp(-V/300))
作者: dfu2012    时间: 2012-12-8 21:13
老陈 发表于 2012-12-4 20:57
解法精妙，虽说过程复杂一点，但从建模到推理每一步都非常严谨。和竹林走的不同路，到达了同一终点。佩服 ...

没错，是 F(V)= 75-60 exp(-V/300))，纯粹是笔误，可能是稀里糊涂黏贴了下面原贴中前面的“15+。。。”，已经是这种错误的惯犯了。

原贴中有这一句“即：F(V)=15+60*(1-(300N/(300N+1))^VN=75-60*（（300N/(300N+1))^VN）”，

后面的就是 F(V)=75-60*（（300N/(300N+1))^VN),最终一致。


刚看到你新的题目，才注意这题更新回复了。
作者: yidunxun    时间: 2013-1-16 11:42
我靠

  I 服了 你们了   哈哈  ！！！！！！



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